ローラン級数の主要部分と特異点の分類
📂複素解析ローラン級数の主要部分と特異点の分類
概要
ローラン展開の主要部主要部を良く見ると、特異点の種類を理解できる。
αを関数f:A⊂C→Cの孤立した特異点とする。このローラン展開
f(z)=n=0∑∞an(z−α)n+n=1∑∞(z−α)nbn
において、数列bnは下記の性質を持つ。
定理
- [1]: 全てのnに対し、bn=0 ⟺ αは取り除ける特異点である。
- [2]: あるmに対し、bm=0であり、bm+1=bm+2=⋯=0 ⟺ αはm次の極である。
- [3]: 全てのkではないが、bk=0を満たすkが無限に存在する。⟺ αは本質的な特異点である。
説明
証明はそこまで重要ではなく、事実も知っておいて損はない。それでも時々、こういう事実が役立つこともあるので、余裕があれば覚えておき、なければ、こんな事実があったという程度に知っておこう。