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二つの事象が独立であれば、それらの余事象も独立であることの証明 📂確率論

二つの事象が独立であれば、それらの余事象も独立であることの証明

概要

次のことが等価である。 P(AB)=P(A)P(B)P(ABc)=P(A)P(Bc)P(AcB)=P(Ac)P(B)P(AcBc)=P(Ac)P(Bc) P(A \cap B) = P(A)P(B) \\ P(A \cap B^c)=P(A)P(B^c) \\ P(A^c \cap B)=P(A^c)P(B) \\ P(A^c \cap B^c)=P(A^c)P(B^c)

説明

これを知っていると大いに役立つだけでなく、公式としても利用できる。

証明

P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) と仮定しよう。つまり、事件 AABB は独立である。補事象の性質により P(A)=1P(Ac)P(B)=1P(Bc) P(A)=1-P(A^{ c }) \\ P(B)=1-P(B^{ c }) であるから、P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B)の右辺は P(A)P(B)=(1P(Ac))(1P(Bc))=1P(Ac)P(Bc)+P(Ac)P(Bc) \begin{align*} P(A)P(B)&=(1-P(A^{ c }))(1-P(B^{ c })) \\ =& 1-P(A^{ c })-P(B^{ c })+P(A^{ c })P(B^{ c }) \end{align*} そして、左辺はド・モルガンの定理により P(AB)=1P((AB)c)=1P(AcBc) \begin{align*} P(A\cap B) =& 1-P((A\cap B)^{ c }) \\ =& 1-P(A^{ c }\cup B^{ c }) \end{align*} である。P(AB)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B) の両辺に代入して整理すると P(AcBc)=P(Ac)+P(Bc)P(Ac)P(Bc) P(A^{ c }\cup B^{ c })=P(A^{ c })+P(B^{ c })-P(A^{ c })P(B^{ c }) を得る。ここで、事件 AABB が互いに独立なので、確率の加法定理により P(AcBc)=P(Ac)+P(Bc)P(AcBc) P(A^{ c }\cup B^{ c })=P(A^{ c })+P(B^{ c })-P(A^{ c }\cap B^{ c }) 従って、 P(Ac)P(Bc)=P(AcBc) P(A^{ c })P(B^{ c })=P(A^{ c }\cap B^{ c }) を得る。つまり、AABB が独立ならば、AcA^cBcB^c も独立である。一方、 P(A)P(Bc)=P(A)1P(B)=P(A)P(A)P(B)=P(A)P(A)P(B)+P(AB)=P(AB)P(B)=P(ABc) \begin{align*} P(A)P(B^{ c })&=P(A){1-P(B)} \\ &=P(A)-P(A)P(B) \\ &=P(A)-P(A)-P(B)+P(A\cup B) \\ &=P(A\cup B)-P(B) \\ &=P(A\cap B^{ c }) \end{align*} であり、これは AcA^cBB についても同じである。