二つの事象が独立であれば、それらの余事象も独立であることの証明
📂確率論二つの事象が独立であれば、それらの余事象も独立であることの証明
概要
次のことが等価である。
P(A∩B)=P(A)P(B)P(A∩Bc)=P(A)P(Bc)P(Ac∩B)=P(Ac)P(B)P(Ac∩Bc)=P(Ac)P(Bc)
説明
これを知っていると大いに役立つだけでなく、公式としても利用できる。
証明
P(A∩B)=P(A)P(B) と仮定しよう。つまり、事件 A と B は独立である。補事象の性質により
P(A)=1−P(Ac)P(B)=1−P(Bc)
であるから、P(A∩B)=P(A)P(B)の右辺は
P(A)P(B)==(1−P(Ac))(1−P(Bc))1−P(Ac)−P(Bc)+P(Ac)P(Bc)
そして、左辺はド・モルガンの定理により
P(A∩B)==1−P((A∩B)c)1−P(Ac∪Bc)
である。P(A∩B)=P(A)P(B) の両辺に代入して整理すると
P(Ac∪Bc)=P(Ac)+P(Bc)−P(Ac)P(Bc)
を得る。ここで、事件 A と B が互いに独立なので、確率の加法定理により
P(Ac∪Bc)=P(Ac)+P(Bc)−P(Ac∩Bc)
従って、
P(Ac)P(Bc)=P(Ac∩Bc)
を得る。つまり、A とB が独立ならば、Ac とBc も独立である。一方、
P(A)P(Bc)=P(A)1−P(B)=P(A)−P(A)P(B)=P(A)−P(A)−P(B)+P(A∪B)=P(A∪B)−P(B)=P(A∩Bc)
であり、これは Ac と B についても同じである。
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