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空間プロセス 📂統計的分析

空間プロセス

定義 1

特にr>1r > 1の時、ユークリッド空間の固定された部分集合DRrD \in \mathbb{R}^{r}に対して、以下のpp-変量ランダムベクトル集合Y(s):ΩRpY(s) : \Omega \to \mathbb{R}^{p}空間過程とも呼ぶ。 {Y(s):sD} \left\{ Y(s) : s \in D \right\} 特に空間過程が有限集合で、次のようにベクトルで表現される時は、ランダムフィールドと呼ぶ。 (Y(s1),,Y(sn)) \left( Y \left( s_{1} \right) , \cdots , Y \left( s_{n} \right) \right)

説明

特に空間データの中でポイント参照データを扱う時には、Y(s)Y(s)ssに対して連続的にサンプリングできると仮定するが、実際に得られる実現D={s1,,sn}D = \left\{ s_{1} , \cdots , s_{n} \right\}有限集合だろう。

大学の確率過程論の授業では、通常r=p=1r = p = 1[0,)R[ 0 , \infty ) \subset \mathbb{R}に関する次のような確率過程だけを学ぶ。 {Yt:t[0,)} \left\{ Y_{t} : t \in [ 0 , \infty ) \right\} こうして時系列データに対する背景のような感じで確率過程に触れてきたなら、空間過程の定義は多少戸惑うかもしれない。しかし、一般的な確率過程の定義はただ「ランダムエレメント集合」で十分なので、{Y(s)}sD\left\{ Y(s) \right\} _{s \in D}を確率過程と呼ばない理由はない。

空間過程を時間過程の一般化と呼ぶよりは、最初から彼らは区別されていなかったと言った方が正しい。よく分からなければ、時系列を扱う時の時間だけの1次元軸R1\mathbb{R}^{1}もちゃんとしたユークリッド空間だと思い出すといい。よく考えてみれば、時間tRt \in \mathbb{R}の流れに沿う確率'過程'自体も、日常用語とそんなに通じなかったから、空間'過程'という表現にあまり違和感を持たなくてもいい。


  1. Banerjee. (2003). Hierarchical Modeling and Analysis for Spatial Data: p23. ↩︎