対角行列積を通した行列の行別、列別スカラップ
定理
対角行列 $D := \text{diag} \left( d_{1} , \cdots , d_{n} \right)$ と 行列 $A := \left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ について、以下が成り立つ。 $$ \begin{align*} D A =& \begin{bmatrix} d_{1} a_{11} & d_{1} a_{12} & \cdots & d_{1} a_{1n} \\ d_{2} a_{21} & d_{2} a_{22} & \cdots & d_{2} a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n} a_{n1} & d_{n} a_{n2} & \cdots & d_{n} a_{nn} \end{bmatrix} \\ A D =& \begin{bmatrix} d_{1} a_{11} & d_{2} a_{12} & \cdots & d_{n} a_{1n} \\ d_{1} a_{21} & d_{2} a_{22} & \cdots & d_{n} a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{1} a_{n1} & d_{2} a_{n2} & \cdots & d_{n} a_{nn} \end{bmatrix} \end{align*} $$ 言い換えると、対角行列 $D$ を左からかけると行ごとのスカラー乗算ができ、右からかけると列ごとのスカラー乗算ができる。
説明
$A$ の $i$ 列目のベクトルを $\mathbf{a}_{i}$ とする。
$$ A = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} & \mathbf{a}_{2} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} $$
すると，上式は次のように表せる。
$$ AD = \begin{bmatrix} d_{1}\mathbf{a}_{1} & d_{2}\mathbf{a}_{2} & \cdots & d_{n}\mathbf{a}_{n} \end{bmatrix} $$
証明
この類の証明は一般的にやるべきではない。 $3$次の行列については、目で確認してみよう。
$$ \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xa & xb & xc \\ yd & ye & yf \\ zg & zh & zi \end{bmatrix} $$
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