F分布からベータ分布を導出する
📂確率分布論F分布からベータ分布を導出する
定理
自由度 r1,r2 の F-分布に従う確率変数 X∼F(r1,r2) に対して、以下のように定義される Y は、ベータ分布 Best(2r1,2r2) に従う。
Y:=1+(r1/r2)X(r1/r2)X∼Beta(2r1,2r2)
証明
戦略:確率密度関数を直接演繹する。
F-分布の定義:自由度 r1,r2>0 に対して、以下のような確率密度関数を持つ連続確率分布 F(r1,r2) をF-分布という。
f(x)=B(r1/2,r2/2)1(r2r1)r1/2xr1/2−1(1+r2r1x)−(r1+r2)/2,x∈(0,∞)
ベータ分布の定義:α,β>0 に対して、以下のような確率密度関数を持つ連続確率分布 Beta(α,β) をベータ分布という。
f(x)=B(α,β)1xα−1(1−x)β−1,x∈[0,1]
- B(r1/2,r2/2) は ベータ関数を意味する。
⟹⟹⟹Y=1+(r1/r2)X(r1/r2)XY(1+(r1/r2)X)=(r1/r2)XY=(r1/r2)X(1−Y)(r1/r2)X=1−YY
かつ
dy===[1+(r1/r2)x(r1/r2)−(r1/r2)[1+(r1/r2)x]2(r1/r2)x]dx1+(r1/r2)x(r1/r2)[1+(r1/r2)x1+(r1/r2)x−1+(r1/r2)x(r1/r2)x]dx[1+(r1/r2)x]2(r1/r2)dx
であるため、Y の確率密度関数 fY は
========B(r1/2,r2/2)fY(y)(r2r1)r1/2xr1/2−1(1+r2r1x)−(r1+r2)/2⋅(r1/r2)[1+(r1/r2)x]2(r2r1)r1/2−1xr1/2−1(1+r2r1x)2−(r1+r2)/2(r2r1x)r1/2−1(1+r2r1x)2−(r1+r2)/2yr1/2−1(1+r2r1x)r1/2−1(1+r2r1x)2−(r1+r2)/2yr1/2−1(1+r2r1x)1−r2/2yr1/2−1(1+1−yy)1−r2/2yr1/2−1(1−y1)1−r2/2yr1/2−1(1−y)r2/2−1
要するに、Y の確率密度関数は以下のようになる。Beta(2r1,2r2)
fY(y)=B(r1/2,r2/2)1yr1/2−1(1−y)r2/2−1
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