📂確率分布論

ワイブル分布

定義

スケールパラメータ$\lambda > 0$とシェイプパラメータ$k > 0$に関して、以下の確率密度関数を持つ確率分布をワイブル分布^{weibull distribution}という。 $$f(x) = {{ k } \over { \lambda }} \left( {{ x } \over { \lambda }} \right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^{k}} \qquad , x \ge 0$$

定理

• [1] 指数分布の一般化：$k=1$の場合、ワイブル分布は指数分布になる。
• [2] レイリー分布の一般化：$k=2$の場合、ワイブル分布はレイリー分布になる。

説明

確率密度関数の数式的表現からもわかるように、ワイブル分布は最も一般的に見られる指数分布の一般化と見ることができる。その応用は非常に多岐にわたるが、最も代表的なものは指数分布と同様の生存分析であり、ただし指数分布のように失敗率^{failure rate}が一定ではなく、$k$によって変化すると見ることができる：

• $k<1$の場合、失敗率が時間とともに徐々に小さくなると見る。
  • 特定の期間を過ぎると急激に低下する現象、例えば乳児死亡率をよく説明できるとされる。
• $k=1$の場合、失敗率が時間の経過とともに一定、つまり指数分布だ。
• $k>1$の場合、失敗率が時間とともに徐々に増加すると見る。
  • 特にウイルスの潜伏期間や回復期間を推定する研究論文で頻繁に登場する。

三パラメータの一般化 ¹

スケールパラメータ$\alpha > 0$、ロケーションパラメータ$\beta > 0$、シェイプパラメータ$\gamma > 0$に関して、以下の確率密度関数を持つ確率分布を三パラメータワイブル分布^{three-parameter Weibull distribution}という。 $$f(x) = {{ \gamma } \over { \alpha }} \left( {{ x-\beta } \over { \alpha }} \right)^{\gamma-1} e^{- \left( (x - \beta) / \alpha \right)^{\gamma}} \qquad , x \ge \beta$$ もし$X \sim \text{Weibull} (\alpha, \beta, \gamma)$ならば、その平均と分散は以下の通りである。 $$\begin{align*} E(X) =& \alpha \Gamma \left( 1 + {{ 1 } \over { \gamma }} \right) + \beta \\ \operatorname{Var} (X) =& \alpha^{2} \left[ \Gamma \left(1 + {{ 2 } \over { \gamma }} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + {{ 1 } \over { \gamma }} \right)^{2} \right) \right] \end{align*}$$ もちろん、二つのパラメータに関して$X \sim \text{Weibull} (\lambda, k)$ならば、次のようになる。 $$\begin{align*} E(X) =& \lambda \Gamma \left( 1 + {{ 1 } \over { k }} \right) \\ \operatorname{Var} (X) =& \lambda^{2} \left[ \Gamma \left(1 + {{ 2 } \over { k }} \right) - \left( \Gamma \left( 1 + {{ 1 } \over { k }} \right)^{2} \right) \right] \end{align*}$$

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• ここで、$\Gamma$はガンマ関数だ。