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e^-x^2型の定積分、ガウス積分、オイラー-ポアソン積分 📂レンマ

e^-x^2型の定積分、ガウス積分、オイラー-ポアソン積分

定理

ガウス関数 f(x):=e−x2f(x) := e^{-x^2} の全範囲に及ぶ積分は、以下の通りである。

∫−∞∞e−x2dx=π \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi}

説明

物理学者ケルビンは、「この積分を当たり前だと思う人は数学者だ」という言葉を残したそうだ。他にも ガウス積分、または オイラー・ポアソン積分 などとも呼ばれる。

高校生にとっては衝撃的な積分で、特に統計学では非常に重要な積分でもある。それもそのはず、高校の範囲では原始関数を求めることができず、計算が不可能なのに、統計の部分では正規分布の確率を暗黙に使っているからだ。

証明

戦略: xx と yy を互いに独立させ、極座標系に変換して閉区間の積分に変える。高校生レベルで理解できると言われるパップス・ギュルディンの定理を通じて、回転体の体積を求める方法で証明する方法があるが、本質的にこの証明と同じであり、この方法も異常積分を含んでいるため、高校生レベルとは言いがたい。

I=∫−∞∞e−x2dx\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx とすると、I=∫−∞∞e−y2dy\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy としても表せる。xx と yy は独立しているので、

I2=∫−∞∞e−x2dx∫−∞∞e−y2dy=∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2)dxdy \begin{align*} I^2 =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-( x^2 + y^2 ) } dxdy \end{align*}

極座標系に変換すると、

I2=∫02π∫0∞e−r2rdrdθ=∫02π[−e−r22]0∞dθ=∫02π12dθ=π \begin{align*} I^2 =& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2 } r dr d\theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi} \left[ {{-e^{-r^2}} \over {2}}\right]_{0}^{\infty} d\theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi} {{1} \over {2}} d\theta \\ =& \pi \end{align*}

従って、

I=π I =\sqrt{\pi}

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帰結

半直線上の異常積分

∫0∞e−x2dx=π2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx= {{\sqrt{\pi}} \over {2}}

積分範囲が 00 から ∞\infty までの場合、極座標は使えない。しかし、ガウス関数の形を見れば、x=0x=0 に対して偶関数なので、計算せずとも半分になると予想できるが、範囲が無限に長い異常積分だからこそ、正確に確認しよう。

証明

∫0∞e−x2dx \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx

x:=−yx :=-y のように置換すると、

x→0, y→0x→∞, y→−∞x2=y2 x \rightarrow 0,\ y \rightarrow 0 \\ x \rightarrow \infty,\ y \rightarrow -\infty \\ x^2=y^2

dx=−dydx=-dy なので、

∫0∞e−x2dx=−∫0−∞e−y2dy=∫−∞0e−y2dy \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = -\int_{0}^{-\infty} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy

積分変数は定積分に影響を与えないので、∫−∞0e−y2dy=∫−∞0e−x2dx\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx と書けて、従って、

∫0∞e−x2dx+∫−∞0e−x2dx=2∫0∞e−x2dx=∫−∞∞e−x2dx \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx + \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx= 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx

上記の結果を使用すると、

∫0∞e−x2dx=12∫−∞∞e−x2dx=12π \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}

一般化

以下のように一般化された公式が広く用いられている。

∫−∞∞e−αx2dx=πα \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}

参照

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