e^-x^2型の定積分、ガウス積分、オイラー・ポアソン積分
定理
ガウス関数 $f(x) := e^{-x^2}$の全領域にわたる定積分は次のとおりである。
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx= \sqrt{\pi} $$
説明
物理学者ケルビンは「この積分が当然に見える人を数学者と呼ぶ」という言葉を残したという。別名としてはガウス積分Gaussian integral、あるいはオイラー・ポアソン積分Euler-Poisson integralなどがある。
高校生には衝撃的な積分であり、特に統計学では途方もなく重要な積分でもある。それもそのはず、高校課程の範囲内では原始関数を求められず計算ができないのに、その一方で統計パートでは正規分布の確率を暗黙のうちに使うからである。
証明
Strategy: $x$と独立な$y$を作り出したのち極座標系に変えて閉区間にわたる積分に変える。高校水準でもパップス・ギュルダンの定理を通じて回転体の体積を求めるやり方で証明する方法があるというが、本質的にはこの証明と同じであるうえに、そのような方法もまた異常積分を含んでいるので高校生水準とは言いがたい。
$\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$とすると$\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy$とも表せる。$x$と$y$は独立なので
$$ \begin{align*} I^2 =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-( x^2 + y^2 ) } dxdy \end{align*} $$
極座標系に変えると
$$ \begin{align*} I^2 =& \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2 } r dr d\theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi} \left[ {{-e^{-r^2}} \over {2}}\right]_{0}^{\infty} d\theta \\ =& \int_{0}^{2 \pi} {{1} \over {2}} d\theta \\ =& \pi \end{align*} $$
したがって
$$ I =\sqrt{\pi} $$
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系
半直線の定積分
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx= {{\sqrt{\pi}} \over {2}} $$
一方、積分範囲が$0$から$\infty$までであれば極座標を使えない。もちろんガウス関数の形を見れば$x=0$に対して偶関数なので、わざわざ計算してみなくても半分になることは見当がつくが、範囲が無限に長い異常積分である以上、正確に確認してみることにしよう。
証明
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $$
ここで$x :=-y$のように置換すると
$$ x \rightarrow 0,\ y \rightarrow 0 \\ x \rightarrow \infty,\ y \rightarrow -\infty \\ x^2=y^2 $$
$dx=-dy$なので
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = -\int_{0}^{-\infty} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy $$
積分変数は定積分において影響を与えないので$\displaystyle \int_{-\infty}^{0} e^{-y^2} dy=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx$と書くことができ、したがって
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx + \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx= 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx $$
上の結果を使えば
$$ \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi} $$
一般化
次のように一般化された公式がよく使われる。
$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}} $$
関連リンク
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