📂複素解析

コーシーの積分公式の導出

定理 ¹

複素関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が 単連結領域 $\mathscr{R}$ で 解析的 だとしよう。

$\mathscr{R}$ に含まれる 単純閉曲線 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ がある点 $\alpha$ を囲んでいる場合、以下が成り立つ。 $$f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz$$

導出

まず、$\displaystyle 2 \pi i = \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz$ であることを示そう。

複素経路積分の収縮補助定理: $\mathscr{C}$内部で $\alpha$ を中心とする 円 $\mathscr{C} '$ について $$\int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$

$\displaystyle \int_{\mathscr{C}} {{1} \over { z - \alpha }} dz$ の積分区間を 円 $\mathscr{C} ': | z - \alpha | = \rho$ に収縮すると、$z(\theta) = \rho e^{i \theta} + \alpha, -\pi \le \theta \le \pi$ なので $$\int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz = \int_{-\pi}^{\pi} {{ i \rho e^{i \theta}} \over { \rho e^{i \theta} }} d\theta = 2 \pi i$$ 次に、$\displaystyle I = \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz$ と置いて、$I$ を求めると $$\begin{align*} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz =& \int_{\mathscr{C} '} {{f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \\ =& f(\alpha) \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \\ =& f(\alpha) 2 \pi i + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \end{align*}$$ $\displaystyle \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz = 0$ であることを示せば、証明は完了する。

$f(z)$ は $z = \alpha$ で微分可能であるため、ある $M>0$ に対して $$\left| {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} \right| \le M$$ $\mathscr{C} ' : | z - \alpha | = \rho$ なので、$\mathscr{C} '$ の長さは $2 \pi \rho$ である。

ML補助定理: $|f(z)| \le M$ を満たす正の数 $M$ と $\mathscr{C}$ の長さ $L$ について $$\left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML$$

ML補助定理によって、 $$\left| \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| \le 2 \pi \rho M$$ ここで、$z = \alpha$ を中心に複素経路積分の収縮補助定理を繰り返し使ってみると、 $$\mathscr{C}_n : | z - \alpha | = \rho_n \\ \mathscr{C}_{n+1} : | z - \alpha | = \rho_{n+1} \\ \rho_{n} > \rho_{n+1}$$ その場合、$n \to \infty$ の時、$\rho_{n} \to 0$ である。全ての $\rho_{n} >0$ について $$\left| \int_{\mathscr{C}_{n}} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| \le 2 \pi \rho_{n} M$$ このように、 $$\left| \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| = 0$$ 最終的に以下を得る。 $$\int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz = f(\alpha) 2 \pi i$$

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説明

盲目が目を開き、不具足が起き上がる公式だ。数学的な美しさは言うまでもなく、その有用性は非常に深いため、その影響を計り知ることが難しい。特に積分に関しては、絶え間なく豊かな数学的成果が提供されるため、複素解析の花とも言われる。

系

一方で、コーシー積分公式は、$n$次微分係数に対しても一般化することが可能である。一般化のために数学的帰納法を利用する点を除いて、コーシー積分公式の証明と本質的に異なるわけではない。この公式は自体として非常に有用だが、それ以上に重要な意味を持っている。

微分に対するコーシー積分公式の一般化

関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が 単連結領域 $\mathscr{R}$ で 解析的 だとしよう。

$\mathscr{R}$ に含まれる 単純閉曲線 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ がある点 $\alpha$ を囲んでいる場合、自然数 $n$ に対して、以下が成り立つ。 $$f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz$$

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しかし、条件を読むと、$f$ が何回も微分可能であるという話はないが、$n$次微分係数を使用している。つまり複素解析では 一度微分可能な関数は無限に微分可能 であるという意味になる。これは証明過程で保証され、実関数では簡単に言えない非常に強力な利点である。このように、複素解析は、微分であれ積分であれ、あらゆる制限を取り除いてくれるため、驚くべき数学的結果が容易に導かれるのである。

無限の微分可能性 ²

解析的な複素関数の導関数は解析的である。つまり、$f$ が $z \in \mathbb{C}$ で 解析的 であれば、全ての $n \in \mathbb{N}$ に対して、$n$次導関数 $f^{(n)}$ もまた $z$ で解析的である。