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ブラウンの橋 📂確率微分方程式

ブラウンの橋

定義 1 2

dYt=bYt1tdt+dWt,t[0,1),Y0=a d Y_{t} = {{ b - Y_{t} } \over { 1 - t }} dt + d W_{t} \qquad, t \in [0,1), Y_{0} = a a,bRa, b \in \mathbb{R} としよう。上の11次元の確率微分方程式の解である確率過程 YtY_{t} を(aa から bb への)ブラウニアンブリッジbrownian Bridgeという。 Yt=a(1t)+bt+(1t)0t11sdWs Y_{t} = a (1-t) + bt + (1-t) \int_{0}^{t} {{ 1 } \over { 1 - s }} d W_{s}

説明

ブラウンの橋は、aaから始まり、途中どれだけ彷徨っても最終的にはbbで止まる非常に特別な確率過程だ。t1t \to 1 の時、YtY_{t}ほぼ確実に bbに収束する。

YtY_{t}bbから離れるほど、ドリフト項の分子でbYtb-Y_{t} が大きく影響を及ぼし、特にt1t \approx 1で分母が00に無限に近づき、その間の彷徨いを補うようになる。


  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p75. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p145~147. ↩︎