📂確率微分方程式

ブラウンの橋

定義 ^{1 2}

$$ d Y_{t} = {{ b - Y_{t} } \over { 1 - t }} dt + d W_{t} \qquad, t \in [0,1), Y_{0} = a $$ $a, b \in \mathbb{R}$ としよう。上の$1$次元の確率微分方程式の解である確率過程 $Y_{t}$ を（$a$ から $b$ への）ブラウニアンブリッジ^{brownian Bridge}という。 $$ Y_{t} = a (1-t) + bt + (1-t) \int_{0}^{t} {{ 1 } \over { 1 - s }} d W_{s} $$

説明

ブラウンの橋は、$a$から始まり、途中どれだけ彷徨っても最終的には$b$で止まる非常に特別な確率過程だ。$t \to 1$ の時、$Y_{t}$ はほぼ確実に $b$に収束する。

$Y_{t}$ が $b$から離れるほど、ドリフト項の分子で$b-Y_{t}$ が大きく影響を及ぼし、特に$t \approx 1$で分母が$0$に無限に近づき、その間の彷徨いを補うようになる。