ブラウンの橋
📂確率微分方程式ブラウンの橋
定義
dYt=1−tb−Ytdt+dWt,t∈[0,1),Y0=a
a,b∈R としよう。上の1次元の確率微分方程式の解である確率過程 Yt を(a から b への)ブラウニアンブリッジbrownian Bridgeという。
Yt=a(1−t)+bt+(1−t)∫0t1−s1dWs
説明
ブラウンの橋は、aから始まり、途中どれだけ彷徨っても最終的にはbで止まる非常に特別な確率過程だ。t→1 の時、Yt はほぼ確実に bに収束する。
Yt が bから離れるほど、ドリフト項の分子でb−Yt が大きく影響を及ぼし、特にt≈1で分母が0に無限に近づき、その間の彷徨いを補うようになる。