積分の平均値定理
定理
閉区間$[a,b]$で関数$f$が連続であるとすると、$\displaystyle f(c) = {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$を満たす$c$が$(a,b)$に少なくとも一つ存在する。
説明
平均値の定理に似ているが、積分に使用されるので、このような名前がついている。使用法も非常に似ており、その有用性は平均値の定理に全く劣らない。一方で、関数の平均値を右側のように定義することを考えると、むしろこれが平均値の定理であり、広く知られている平均値の定理が「微分の平均値の定理」と呼ばれるのが妥当かもしれない。
証明
戦略: $f$の連続性が仮定されているので、最大最小値の定理と中間値の定理を使用する。
$f$が$[a,b]$で連続であり、最大最小値の定理によって最小値$m$と最大値$M$が存在するので、
$$ \int_{a}^{b} m dx \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} M dx $$
$$ \implies m \le {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx \le M $$
もう一度、$f$が$[a,b]$で連続であるため、中間値の定理によれば、$m$と$M$の間に、$\displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$に対して$f(c) = \displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$を満たす$c$が$a$と$b$の間に少なくとも一つ存在する。
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同様に、重み$w$に対して一般化することができる。上で紹介された形式は$w(x) = 1$の場合であり、$\displaystyle \int_{a}^{b} dx = b - a$となり、以下の定理によくカバーされている。
従論
閉区間$[a,b]$で関数$f$が連続であり、$w(x) \ge 0$が積分可能である場合、$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) w(x) dx = f( \xi ) \int_{a}^{b} w(x) dx$を満たす$\xi$が$(a,b)$に少なくとも一つ存在する。