多変量確率変数の確率収束
定義 1
$p$次元のランダムベクトル$\mathbf{X}$とランダムベクトルのシーケンス$\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$が下記を満たす時、$n \to \infty$に対して$\mathbf{X}_{n}$が$\mathbf{X}$に確率収束convergence in Probabilityすると言い、$\mathbf{X} _ {n} \overset{P}{\to} \mathbf{X}$と表す。 $$ \forall \varepsilon > 0 , \lim_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| < \varepsilon \right] = 1 $$
- $\| \cdot \|$はユークリッドノルムで、$\left\| \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) \right\| = \sqrt{ x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}}$として定義される。
定理
$p$次元のランダムベクトルを$\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{p} \right)$と表そう。すると $$ \mathbf{X}_{n} \overset{P}{\to} \mathbf{X} \iff X_{nk} \overset{P}{\to} X_{k} \qquad, \forall k = 1, \cdots, p $$
証明
$(\Rightarrow)$
$\mathbf{X}_{n} \overset{P}{\to} \mathbf{X}$とする。ユークリッドノルムの定義に従って$\varepsilon > 0$について $$ \varepsilon \le \left| X_{nk} - X_{k} \right| \le \left\| \mathbf{X}_{nk} - \mathbf{X}_{k} \right\| $$ であるから $$ \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \le \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{nk} - \mathbf{X}_{k} \right\| \ge \varepsilon \right] = 0 $$
$(\Leftarrow)$
$X_{nk} \overset{P}{\to} X_{k} , \forall k = 1, \cdots, p$とする。ユークリッドノルムの定義に従って$\varepsilon > 0$について $$ \varepsilon \le \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| \le \sum_{k=1}^{p} \left| X_{nk} - X_{k} \right| $$ であるから $$ \begin{align*} & \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| \ge \varepsilon \right] \\ \le & \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \\ \le & \sum_{k=1}^{p} \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \\ =& 0 \end{align*} $$
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参照
Hogg et al. (2013). Mathematical Statisticsへの入門(7版): p321. ↩︎