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ノルム空間内の数列の収束 📂バナッハ空間

ノルム空間内の数列の収束

定義

$(X, \left\| \cdot \right\|)$をノルム空間と呼ぼう。$X$の列$\left\{ x_{n} \right\}$が

$$ \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x - x_{n} \right\| = 0,\quad x\in X $$

を満たせば、列$\left\{ x_{n} \right\}$が$x$に収束するconvergeと言い、以下のように表されます。

$$ x_{n} \to x \text { as } n \to \infty \quad \text{or} \quad x=\lim \limits_{n\to\infty}x_{n} $$

説明

収束を定義するためには距離が必要ですが、ノルム空間では$d(x,y)=\left\| x - y \right\|$として自然に距離を定義できるため、距離空間の定義とは距離をノルムに置き換えたものと同じです。


全ての$\epsilon >0$に対して、以下の式を満たす自然数$N\in \mathbb{N}$が存在すれば、列$\left\{ x_{n} \right\}$が$x$に収束すると言います。

$$ \left\| x - x_{n} \right\|<\epsilon \quad \forall n \ge N $$


弱収束と比べて強く収束するとも言います。

$$ \begin{align*} & x_{n} \text{ converges to } x \\ =&\ x_{n} \text{ converges in norm to } x \\ =&\ x_{n} \text{ converges strongly to } x \end{align*} $$