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ノルム空間内の数列の収束 📂バナッハ空間

ノルム空間内の数列の収束

定義

(X,∥⋅∥)(X, \left\| \cdot \right\|)をノルム空間と呼ぼう。XXの列{xn}\left\{ x_{n} \right\}が

lim⁡n→∞∥x−xn∥=0,x∈X \lim \limits_{n \to \infty} \left\| x - x_{n} \right\| = 0,\quad x\in X

を満たせば、列{xn}\left\{ x_{n} \right\}がxxに収束するconvergeと言い、以下のように表されます。

xn→x as n→∞orx=lim⁡n→∞xn x_{n} \to x \text { as } n \to \infty \quad \text{or} \quad x=\lim \limits_{n\to\infty}x_{n}

説明

収束を定義するためには距離が必要ですが、ノルム空間ではd(x,y)=∥x−y∥d(x,y)=\left\| x - y \right\|として自然に距離を定義できるため、距離空間の定義とは距離をノルムに置き換えたものと同じです。

全てのϵ>0\epsilon >0に対して、以下の式を満たす自然数N∈NN\in \mathbb{N}が存在すれば、列{xn}\left\{ x_{n} \right\}がxxに収束すると言います。

∥x−xn∥<ϵ∀n≥N \left\| x - x_{n} \right\|<\epsilon \quad \forall n \ge N

弱収束と比べて強く収束するとも言います。

xn converges to x= xn converges in norm to x= xn converges strongly to x \begin{align*} & x_{n} \text{ converges to } x \\ =&\ x_{n} \text{ converges in norm to } x \\ =&\ x_{n} \text{ converges strongly to } x \end{align*}