📂シュワルツ超函数

ディラックのデルタ関数が正則化された分布ではないことの証明

定理¹

$$\delta (\phi) := \phi (0), \quad \phi \in \mathcal{D}$$

上のように定義されたディラック・デルタ関数は正則超関数ではない。正則超関数ではない超関数を特異超関数^{singular distribution}という。

説明

正則超関数とは、下のように定義される超関数で、対応する局所可積分な関数 $u$が存在するものを言う。

$$T_{u}(\phi) := \int u(x) \phi (x) dx,\quad \phi \in \mathcal{D}$$

ディラック・デルタ関数が正則超関数でないというのは、下の条件を満たす局所可積分な $u$が存在しないということである。

$$\not\exists u\ \text{s.t. } \int u(x)\phi (x)dx = \delta (\phi) = \phi (0),\quad \phi \in \mathcal{D}$$

証明

背理法による証明。

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次のような式を満たす局所可積分な関数 $u$が存在すると仮定しよう。

$$\begin{equation} \int u(x)\phi (x)dx =\delta (\phi)=\phi (0),\quad \phi \in \mathcal{D} \label{eq1} \end{equation}$$

今、以下のようなテスト関数を考える。

$$\begin{equation} \eta (x) =\begin{cases} e^{\frac{1}{x^{2}-1}} ,& \left| x \right| <1 \\ 0 & \left| x \right| \ge 1 \end{cases},\quad \eta_{m}(x)=\eta (mx)=\begin{cases} e^{\frac{1}{(mx)^{2}-1}} ,& \left| mx \right| <1 \\ 0 & \left| mx \right| \ge 1 \end{cases} ,\quad \forall m\in \mathbb{N} \label{eq2} \end{equation}$$

すると、$\eta _{m}$のグラフは下のようになる。

また、すべての $m$に対して、$\eta_{m}(0)=\eta (0)=e^{-1}$を満たし、サポートは $\mathrm{supp}\ \eta_{m}=[{\textstyle -\frac{1}{m}},{\textstyle \frac{1}{m}}]$である。したがって、$\eqref{eq1}$の積分は以下のように書くことができる。

$$\begin{align*} \delta (\eta_{m})&=\int _{\mathbb{R}} u(x) \eta_{m}(x)dx \\ &=\int_{-{\textstyle \frac{1}{m}}}^{{\textstyle \frac{1}{m}}}u(x)\eta_{m}(x)dx \\ &=\eta_{m}(0) \\ &=e^{-1} \end{align*}$$

上の式に $m \to \infty$の極限を取ると、次を得る。

$$\begin{equation} \lim \limits_{m\to\infty} \int _{-{\textstyle \frac{1}{m}}}^{{\textstyle \frac{1}{m}}}u(x)\eta_{m}(x)dx =e^{-1} \label{eq3} \end{equation}$$

また、$\eqref{eq2}$を考えると、$\eta_{m}$のイメージは$[0,e^{-1}]$である。したがって、$\eta_{m}$は$e^{-1}$によってバウンドされる。$u$も積分可能である条件により何らかの $M>0$によってバウンドされる。従って、次が成立する。

$$\begin{align*} \int_{-{\textstyle \frac{1}{m}}}^{{\textstyle \frac{1}{m}}}u(x)\eta_{m}(x)dx &= \int_{\mathbb{R}}\chi_{[-{\textstyle \frac{1}{m}},{\textstyle \frac{1}{m}}]}(x)u(x)\eta_{m}(x)dx \\ &\le \int_{\mathbb{R}}e^{-1}\left| \chi_{[-{\textstyle \frac{1}{m}},{\textstyle \frac{1}{m}}]}(x)u(x) \right|dx \\ &\le e^{-1}\frac{2}{m}M \end{align*}$$

すると、優収束定理によって、次の式が成り立つ。

$$\begin{equation} \begin{aligned} \lim \limits_{m \to \infty} \int_{-{\textstyle \frac{1}{m}}}^{{\textstyle \frac{1}{m}}}u(x)\eta_{m}(x)dx &= \lim \limits_{m \to \infty} \int_{\mathbb{R}}\chi_{[-{\textstyle \frac{1}{m}},{\textstyle \frac{1}{m}}]}(x)u(x)\eta_{m}(x)dx \\ &= \int_{\mathbb{R}}\lim \limits_{m \to \infty}\chi_{[-{\textstyle \frac{1}{m}},{\textstyle \frac{1}{m}}]}(x)u(x)\eta_{m}(x)dx \\ & = 0 \end{aligned} \label{eq4} \end{equation}$$

$\eqref{eq3}$と$\eqref{eq4}$は互いに矛盾するので、仮定が間違っていたことがわかる。したがって、ディラック・デルタ関数は正則超関数ではない。

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