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距離空間における関数の連続性の同値条件 📂距離空間

距離空間における関数の連続性の同値条件

定理2

二つの距離空間(X,dX)(X,d_{X})と(Y,dY)(Y,d_{Y})について、f:X→Yf : X \to Yとする。すると、以下の三つの命題は同値である。

(2a) ffがXXで連続である。

(2b) すべてのYYの開集合OYO_{Y}に対してf−1(OY)f^{-1}(O_{Y})はXXで開集合である。

(2c) すべてのYYの閉集合CYC_{Y}に対してf−1(CX)f^{-1}(C_{X})はXXで閉集合である。ここで、f−1f^{-1}は逆関数ではなく逆像を意味する。

証明

  • (2a)   ⟹  \implies (2b)

    ffがXXで連続だと仮定する。OYO_{Y}はYYで開集合である。開集合の定義によりf−1(OY)f^{-1}(O_{Y})の全ての点はf−1(OY)f^{-1}(O_{Y})の内点であることが示される。任意のf(p)∈OYf(p) \in O_{Y}を考える。するとp∈f−1(OY)p \in f^{-1}(O_{Y})である。OYO_{Y}が開いているため、f(p)f(p)はOYO_{Y}の内点である。したがって、

    dY(y,f(p))<ε  ⟹  y∈OY \begin{equation} d_{Y}(y,f(p)) < \varepsilon \implies y \in O_{Y} \label{eq1} \end{equation}

    である正のε\varepsilonが存在する。すると、ffがXXで連続であるため、このε\varepsilonに対して

    dX(x,p)<δ  ⟹  dY(f(x),f(p))<ε \begin{equation} d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \label{eq2} \end{equation}

    であるあるδ>0\delta >0が存在する。しかし、(eq1)\eqref{eq1}、(eq2)\eqref{eq2}により

    dX(x,p)<δ  ⟹  dY(f(x),f(p))<ε  ⟹  f(x)∈OY d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \implies f(x)\in O_{Y}

    であるため、x∈f−1(OY)x \in f^{-1}(O_{Y})である。そのため、何らかの正のδ\deltaに対して

    dX(x,p)<δ  ⟹  x∈f−1(OY) d_{X}(x,p) < \delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y})

    が成り立ち、ppはf−1(OY)f^{-1}(O_{Y})の内点であり、f−1(OY)f^{-1}(O_{Y})は開いている。

    ■

  • (2b)   ⟹  \implies (a2)

    (2b) を仮定する。任意のp∈Xp \in Xとε>0\varepsilon >0を選択する。そして、集合OYO_{Y}を次のようにする。

    OY={y:dY(y,f(p))<ε} O_{Y} =\left\{ y : d_{Y}(y,f(p))<\varepsilon \right\}

    すると、OYO_{Y}はYYで開集合である。すると、仮定によりf−1(OY)f^{-1}(O_{Y})はXXで開集合である。したがって、

    dX(x,p)<δ  ⟹  x∈f−1(OY) d_{X}(x,p) <\delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y})

    を満たす正のδ>0\delta >0が存在する。すると、

    x∈f−1(OY)anddX(x,p)<δ  ⟹  dY(f(x),f(p))<ε x\in f^{-1}(O_{Y}) \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)< \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon

    が成り立つため、連続の定義によりffは全てのp∈Xp \in Xで連続である。

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  • (2b)   ⟺  \iff (2c)

    (2b)   ⟹  \implies (2c) これを証明すれば、反対の側も同じ論理で証明できるため、残りは省略する。(2b) を仮定する。YYでの開集合OYO_{Y}については、以下のようである。

    OY is open in Y  ⟹  f−1(OY) is open in X O_{Y}\mathrm{\ is\ open\ in\ } Y \implies f^{-1}(O_{Y})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X

    開集合は閉集合の補集合であるため、OY=(CY)cO_{Y}=(C_{Y})^{c}として上記の文は以下のようである。

    CY is closed in Y  ⟹  f−1((CY)c) is open in X C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}((C_{Y})^{c})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X

    しかし、f−1((CY)c)=(f−1(CY))cf^{-1}((C_{Y})^{c})=(f^{-1}(C_{Y}))^{c}であるため、以下が成り立つ。

    CY is closed in Y  ⟹  (f−1(CY))c is open in X C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies (f^{-1}(C_{Y}))^{c}\mathrm{\ is\ open\ in\ }X

    また、開集合の補集合は閉集合であるため、以下が成り立つ。

    CY is closed in Y  ⟹  f−1(CY) is closed in X C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}(C_{Y})\mathrm{\ is\ closed\ in\ }X

    ■