距離空間における関数の連続性の同値条件
定理2
二つの距離空間$(X,d_{X})$と$(Y,d_{Y})$について、$f : X \to Y$とする。すると、以下の三つの命題は同値である。
(2a) $f$が$X$で連続である。
(2b) すべての$Y$の開集合$O_{Y}$に対して$f^{-1}(O_{Y})$は$X$で開集合である。
(2c) すべての$Y$の閉集合$C_{Y}$に対して$f^{-1}(C_{X})$は$X$で閉集合である。ここで、$f^{-1}$は逆関数ではなく逆像を意味する。
証明
(2a) $\implies$ (2b)
$f$が$X$で連続だと仮定する。$O_{Y}$は$Y$で開集合である。開集合の定義により$f^{-1}(O_{Y})$の全ての点は$f^{-1}(O_{Y})$の内点であることが示される。任意の$f(p) \in O_{Y}$を考える。すると$p \in f^{-1}(O_{Y})$である。$O_{Y}$が開いているため、$f(p)$は$O_{Y}$の内点である。したがって、
$$ \begin{equation} d_{Y}(y,f(p)) < \varepsilon \implies y \in O_{Y} \label{eq1} \end{equation} $$
である正の$\varepsilon$が存在する。すると、$f$が$X$で連続であるため、この$\varepsilon$に対して
$$ \begin{equation} d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \label{eq2} \end{equation} $$
であるある$\delta >0$が存在する。しかし、$\eqref{eq1}$、$\eqref{eq2}$により
$$ d_{X}(x,p) < \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon \implies f(x)\in O_{Y} $$
であるため、$x \in f^{-1}(O_{Y})$である。そのため、何らかの正の$\delta$に対して
$$ d_{X}(x,p) < \delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y}) $$
が成り立ち、$p$は$f^{-1}(O_{Y})$の内点であり、$f^{-1}(O_{Y})$は開いている。
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(2b) $\implies$ (a2)
(2b) を仮定する。任意の$p \in X$と$\varepsilon >0$を選択する。そして、集合$O_{Y}$を次のようにする。
$$ O_{Y} =\left\{ y : d_{Y}(y,f(p))<\varepsilon \right\} $$
すると、$O_{Y}$は$Y$で開集合である。すると、仮定により$f^{-1}(O_{Y})$は$X$で開集合である。したがって、
$$ d_{X}(x,p) <\delta \implies x \in f^{-1}(O_{Y}) $$
を満たす正の$\delta >0$が存在する。すると、
$$ x\in f^{-1}(O_{Y}) \quad \text{and} \quad d_{X}(x,p)< \delta \implies d_{Y}(f(x),f(p))<\varepsilon $$
が成り立つため、連続の定義により$f$は全ての$p \in X$で連続である。
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(2b) $\iff$ (2c)
(2b) $\implies$ (2c) これを証明すれば、反対の側も同じ論理で証明できるため、残りは省略する。(2b) を仮定する。$Y$での開集合$O_{Y}$については、以下のようである。
$$ O_{Y}\mathrm{\ is\ open\ in\ } Y \implies f^{-1}(O_{Y})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$
開集合は閉集合の補集合であるため、$O_{Y}=(C_{Y})^{c}$として上記の文は以下のようである。
$$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}((C_{Y})^{c})\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$
しかし、$f^{-1}((C_{Y})^{c})=(f^{-1}(C_{Y}))^{c}$であるため、以下が成り立つ。
$$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies (f^{-1}(C_{Y}))^{c}\mathrm{\ is\ open\ in\ }X $$
また、開集合の補集合は閉集合であるため、以下が成り立つ。
$$ C_{Y}\mathrm{\ is\ closed\ in\ } Y \implies f^{-1}(C_{Y})\mathrm{\ is\ closed\ in\ }X $$
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