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極座標系における焦点が原点の楕円の方程式 📂数理物理学

極座標系における焦点が原点の楕円の方程式

定理

5F1E8A921.png

極座標系での楕円の方程式は以下の通りです。

r=α1+ϵcosθ(a) r=\frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}\tag{a}

あるいは

r=b2/a1+a2b2acosθ(b) r=\frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} \tag{b}

ここでα\alphaは焦点距離、ϵ\epsilonは離心率、aaは長半径、bbは短半径です。

説明

以下の二つの証明は本質的には同じです。

証明

高校レベル

3.png

楕円の定義は、二つの焦点までの距離の和が一定の点の集合です。図から一番右にある点を考えると、その距離の和が2a2aであることは容易にわかります。従って楕円の定義により、 FP+PF=2a \begin{align*} \overline{F^{\prime}P} +\overline{PF} =2a \end{align*} PPBBに位置するとき、 b2=a2c2b^{2}=a^{2}-c^{2}という関係式を導出できます。1 従って、 FF=2c=2a2b2 \overline{F^{\prime}F}=2c=2\sqrt{a^{2}-b^{2}} これで三角形FPH\triangle F^{\prime}PHにピタゴラスの定理を使うと、 (2ar)2=(2a2b2+rcosθ)2+(rsinθ)2    4a24ar+r2=4(a2b2)+4ra2b2cosθ+r2cos2θ+r2sin2θ    4a24ar =4(a2b2)+4ra2b2cosθ    (a+a2b2cosθ)r=b2    r=b2a+a2b2cosθ=b2/a1+a2b2acosθ \begin{align*} &&(2a-r)^{2} &= (2 \sqrt{a^{2}- b^{2}}+r \cos \theta)^{2}+(r\sin \theta)^{2} \\ \implies && 4a^{2}-4ar+r^{2} &= 4(a^{2}-b^{2}) + 4r\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos\theta +r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta \\ \implies && 4a^{2} -4ar \ &= 4(a^{2} - b^{2}) +4r\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos \theta \\ \implies && (a+\sqrt{a^{2} - b^{2}}\cos\theta)r &= b^{2} \\ \\ \implies && r&=\frac{b^{2}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}\cos\theta} \\ && &=\frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} \end{align*}

大学レベル

証明の出発点は同じです。楕円の定義により、

r+r=2a(1) r^{\prime}+r=2a \tag{1}

今、下の図を見てください。

2.png

上記の三角形にピタゴラスの定理を使うと、

r2=(rsinθ)2+(2ϵa+rcosθ)2=r2sin2θ+4ϵ2a2+4ϵarcosθ+r2cos2θ=r2+4ϵ2a2+4ϵarcosθ \begin{align*} {r^{\prime}}^{2} &= (r\sin \theta)^{2} + (2\epsilon a +r\cos \theta) ^{2} \\ &= r^{2}\sin ^{2} \theta +4\epsilon^{2}a^{2}+4\epsilon ar \cos \theta+ r^{2} \cos^{2} \theta \\ &= r^{2} + 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \end{align*}

上式の左辺に(1)(1)を代入すると、

4a24ar+r2=r2+4ϵ2a2+4ϵarcosθ    4a24ar=4ϵ2a2+4ϵarcosθ    4a2(1ϵ2)=4a(1+ϵcosθ)r    r=a(1ϵ2)1+ϵcosθ \begin{align*} && 4a^{2} -4ar+r^{2} &=r^{2} + 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \\ \implies && 4a^{2} -4ar &= 4\epsilon^{2}a^{2} + 4\epsilon a r \cos \theta \\ \implies && 4a^{2}(1-\epsilon^{2}) &= 4a(1+ \epsilon \cos \theta)r \\ \implies && r &= \frac{a(1-\epsilon ^{2})}{1+\epsilon \cos \theta } \end{align*}

このときθ=π2\theta={\textstyle \frac{\pi}{2}}なら上式は下記のようになり、図を通して下の値が焦点距離α\alphaになることがわかります。

r=a(1ϵ2)=α r=a(1-\epsilon^{2})=\alpha

従って、楕円の方程式を極座標で表すと、

r=α1+ϵcosθ r= \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}


  1. 楕円の方程式を導出する際に自然に得られる式です。 ↩︎