楕円
定義
平面上で二つの固定された点$F$、$F^{\prime}$への距離の合計が一定である点の集合を楕円ellipseという。
楕円の要素は以下の通り。
$F$、$F^{\prime}$を焦点という。
$a$を長半軸、$b$を短半軸という。$b=\sqrt{1-\epsilon^{2}}a$が成立する。
$\epsilon$を楕円の離心率という。楕円がどれだけ圧縮されているかを示し、焦点は楕円の中心から$\epsilon a$だけ離れている。$k$あるいは$e$として表記されることもある。
$$ \epsilon^{2}=k^{2}=e^{2} =\begin{cases} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} ,&0<b<a \\ \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}, &0<a<b \end{cases} $$
長半軸に垂直に引かれた線が楕円と交わる点から焦点までの距離$\alpha$を通径という。$\alpha = (1-\epsilon^{2})a$が成立する。
$r_{0}$は焦点から近点までの距離で、$r_{0}=(1-\epsilon)a$が成立する。
$r_{1}$は焦点から遠点までの距離であり、$apocenter까지의 거리이며 $、$가 성립한다.
설명
두 초점이 같으면 원이기 때문에, 보통 타원이라고 하면 두 초점이 서로 다르다는 것을 의미한다.
판별법
주어진 이차곡선 $、$에 대해서 $、$를 판별식discriminant이라 한다. 판별식이 음수인 이차곡선은 타원이다.
타원의 방정식
타원의 중심이 $、$이고 장반경이 $、$, 단반경이 $、$인 타원의 방정식은 아래와 같다.
$$ \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 $$
극 좌표에서 초점이 원점인 타원의 방정식
극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.
$$ r = \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta} $$
혹은
$$ r = \frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} $$
타원의 넓이
장반경이 $、$, 단반경이 $、$인 타원의 넓이 $、$는 아래와 같다.
$$ A=ab\pi $$
타원의 둘레
위 그림과 같은 타원의 둘레는 아래와 같다.
$$ 4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}} $$
제2 종 타원 적분
아래의 적분을 각각 제2종 완전 타원 적분, 제2종 불완전 타원 적분 이라고 한다.
$$ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta $$
$$ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta $$
타원의 일반화, 일립소이드
선형 변환 $、$에 대해 $、$차원 단위구 $、$ 의 이미지 $、$ 을 일립소이드ellipsoid라고 한다. $、$의 고유값 $、$와 그에 따른 단위 고유벡터 $が示されている。楕円体の軸は$u_{1} , \cdots , u_{m}$が$에 대해 $を満たすよう表記される。