二つのベクトルの外積の大きさは、それらが作る平行四辺形の面積と等しい
📂数理物理学二つのベクトルの外積の大きさは、それらが作る平行四辺形の面積と等しい
定理
二つのベクトルAとBの間の角度がθの時、二つのベクトルの外積の大きさは以下の通りだ。
∣A×B∣=∣A∣∣B∣sinθ
そして、これは二つのベクトルが作る平行四辺形の面積と同じだ。
証明

二つのベクトルA=(Ax,Ay,Az)とB=(Bx,By,Bz)が上の図のようだとしよう。そうすると
平行四辺形の面積は底辺と高さの積なので、以下の通りだ。
∣A∣∣B∣sinθ
∣A×B∣2=∣(AyBz−AzBy)x^+(AzBx−AxBz)y^+(AxBy−AyBx)z^∣2=(AyBz−AzBy)2+(AzBx−AxBz)2+(AxBy−AyBx)2=Ay2Bz2−2AyAzByBz+Az2By2+Az2Bx2−2AzAxBzBx+Ax2Bz2+Ax2By2−2AxAyBxBy+Ay2Bx2+Ax2Bx2+Ay2By2+Az2Bz2−Ax2Bx2−Ay2By2−Az2Bz2=Ax2(Bx2+By2+Bz2)+Ay2(Bx2+By2+Bz2)+Az2(Bx2+By2+Bz2)−(Ax2Bx2+Ay2By2+Az2Bz2)2=(Ax2+Ay2+Az2)(Bx2+By2+Bz2)−(Ax2Bx2+Ay2By2+Az2Bz2)2=∣A∣2∣B∣2−∣A⋅B∣2=∣A∣2∣B∣2−∣A∣2∣B∣2cos2θ=∣A∣2∣B∣2(1−cos2θ)=∣A∣2∣B∣2sin2θ
だから
∣A×B∣=∣A∣∣B∣sinθ
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