logo

二つのベクトルの外積の大きさは、それらが作る平行四辺形の面積と等しい 📂数理物理学

二つのベクトルの外積の大きさは、それらが作る平行四辺形の面積と等しい

定理

二つのベクトルA\mathbf{A}B\mathbf{B}の間の角度がθ\thetaの時、二つのベクトルの外積の大きさは以下の通りだ。

A×B=ABsinθ \left| \mathbf{A}\times \mathbf{B}\right| =\left|\mathbf{A}\right|\left| \mathbf{B} \right|\sin \theta

そして、これは二つのベクトルが作る平行四辺形の面積と同じだ。

証明

5F17E9AC2.png

二つのベクトルA=(Ax,Ay,Az)\mathbf{A}=(A_{x},A_{y},A_{z})B=(Bx,By,Bz)\mathbf{B}=(B_{x},B_{y},B_{z})が上の図のようだとしよう。そうすると

  • part 1. 平行四辺形の面積

平行四辺形の面積は底辺と高さの積なので、以下の通りだ。

ABsinθ |\mathbf{A}| | \mathbf{B}|\sin\theta

  • part 2. 外積の大きさ

A×B2=(AyBzAzBy)x^+(AzBxAxBz)y^+(AxByAyBx)z^2=(AyBzAzBy)2+(AzBxAxBz)2+(AxByAyBx)2=Ay2Bz22AyAzByBz+Az2By2+Az2Bx22AzAxBzBx+Ax2Bz2+Ax2By22AxAyBxBy+Ay2Bx2+Ax2Bx2+Ay2By2+Az2Bz2Ax2Bx2Ay2By2Az2Bz2=Ax2(Bx2+By2+Bz2)+Ay2(Bx2+By2+Bz2)+Az2(Bx2+By2+Bz2)(Ax2Bx2+Ay2By2+Az2Bz2)2=(Ax2+Ay2+Az2)(Bx2+By2+Bz2)(Ax2Bx2+Ay2By2+Az2Bz2)2=A2B2AB2=A2B2A2B2cos2θ=A2B2(1cos2θ)=A2B2sin2θ \begin{align*} \left|\mathbf{A}\times \mathbf{B}\right|^{2} &= \left| (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\hat{\mathbf{x}}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\hat{\mathbf{y}}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\hat{\mathbf{z}} \right|^{2} \\ &=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})^{2}+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})^{2}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})^{2} \\ &= A_{y}^{2}B_{z}^{2}-2A_{y}A_{z}B_{y}B_{z}+A_{z}^{2}B_{y}^{2} \\ &\quad+ A_{z}^{2}B_{x}^{2}-2A_{z}A_{x}B_{z}B_{x}+A_{x}^{2}B_{z}^{2} \\ &\quad+ A_{x}^{2}B_{y}^{2}-2A_{x}A_{y}B_{x}B_{y}+A_{y}^{2}B_{x}^{2} \\ &\quad \color{red}{+A_{x}^{2}B_{x}^{2}+A_{y}^{2}B_{y}^{2}+A_{z}^{2}B_{z}^{2}} \color{blue}{-A_{x}^{2}B_{x}^{2}-A_{y}^{2}B_{y}^{2}-A_{z}^{2}B_{z}^{2}} \\ &= A_{x}^{2}(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})+ A_{y}^{2}(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})+ A_{z}^{2}(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}) \\ &\quad -(A_{x}^{2}B_{x}^{2}+A_{y}^{2}B_{y}^{2}+A_{z}^{2}B_{z}^{2})^{2} \\ &= (A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2})(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})-(A_{x}^{2}B_{x}^{2}+A_{y}^{2}B_{y}^{2}+A_{z}^{2}B_{z}^{2})^{2} \\ &= |\mathbf{A}|^{2}|\mathbf{B}|^{2}-|\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}|^{2} \\ &= |\mathbf{A}|^{2}|\mathbf{B}|^{2}-|\mathbf{A}|^{2}|\mathbf{B}|^{2}\cos ^{2 }\theta \\ &=|\mathbf{A}|^{2}|\mathbf{B}|^{2}(1-\cos ^{2 }\theta) \\ &=|\mathbf{A}|^{2}|\mathbf{B}|^{2}\sin ^{2 } \theta \end{align*}

だから

A×B=ABsinθ \left|\mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|=\left|\mathbf{A}\right|\left| \mathbf{B} \right|\sin \theta