五色定理の証明
証明
戦略:数学的帰納法を使用する。個の頂点を持つシンプルな平面グラフが全て-彩色可能だと仮定した場合、頂点がもう1つ多くても同じく-彩色可能であることを示す。
個の頂点を持つシンプルな平面グラフが全て-彩色可能だと仮定しよう。
シンプル平面グラフの性質 [2]: 任意のシンプル平面グラフはである頂点を持つ。
がその性質により個の頂点を持つ場合、であるが存在する。このが-彩色可能性に問題を引き起こさなければ、の抜けたグラフは個の頂点を持つので-彩色可能であり、も-彩色可能である。
もしなら、の彩色は何でも構わない。
もしなら、に隣接する頂点をとし、の色をとする。
クラトフスキーの定理: グラフが平面グラフであることと、その部分グラフがやにホメオモルフィックなものがないことは同値である。
は平面グラフなので、は部分完全グラフを形成してはいけない。従って、これらの少なくとも2つの頂点は隣接してはいけない。一般性を失わずに、これら2つの頂点をとする。とを収縮して得られるグラフは個の頂点を持つので-彩色可能である。今、収縮していたグラフのとを元に戻しつつ、で彩色すると、はを含め最大で種類の異なる色の頂点と隣接できるので、残った色の一つを選んで彩色することにより、-彩色を行うことができる。
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