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五色定理の証明 📂グラフ理論

五色定理の証明

証明

戦略:数学的帰納法を使用する。n1n-1個の頂点を持つシンプルな平面グラフが全て55-彩色可能だと仮定した場合、頂点がもう1つ多くても同じく55-彩色可能であることを示す。


n1n-1個の頂点を持つシンプルな平面グラフが全て55-彩色可能だと仮定しよう。

シンプル平面グラフの性質 [2]: 任意のシンプル平面グラフGGdegv5\deg v \le 5である頂点vV(G)v \in V(G)を持つ。

GGがその性質によりnn個の頂点を持つ場合、degv5\deg v \le 5であるvV(G)v \in V(G)が存在する。このvv55-彩色可能性に問題を引き起こさなければ、vvの抜けたグラフGvG - vn1n-1個の頂点を持つので55-彩色可能であり、GG55-彩色可能である。

もしdegv<5\deg v < 5なら、vvの彩色は何でも構わない。

もしdegv=5\deg v = 5なら、vvに隣接する頂点をv1,,v5v_{1} , \cdots , v_{5}とし、vvの色をccとする。

クラトフスキーの定理: グラフが平面グラフであることと、その部分グラフK5K_{5}K3,3K_{3,3}ホメオモルフィックなものがないことは同値である。

GGは平面グラフなので、v1,,v5v_{1} , \cdots , v_{5}は部分完全グラフK5K_{5}を形成してはいけない。従って、これらの少なくとも2つの頂点は隣接してはいけない。一般性を失わずに、これら2つの頂点をv1,v2v_{1} , v_{2}とする。vv1vv_{1}vv2vv_{2}収縮して得られるグラフはn2n-2個の頂点を持つので55-彩色可能である。今、収縮していたグラフのv1v_{1}v2v_{2}を元に戻しつつ、ccで彩色すると、vvccを含め最大で44種類の異なる色の頂点と隣接できるので、残った色の一つを選んで彩色することにより、55-彩色を行うことができる。