📂複素解析

コーシー・リーマン方程式

定理 ¹

関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が $\mathscr{R}$ で解析的だとする。もし実関数 $u,v$に対して $$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$$ となれば、$u,v$は $x,y$に対して一階偏導関数が存在し、$\mathscr{R}$ 上の全ての点で以下の連立偏微分方程式を満たす。 $$\begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases}$$

定理

コーシー・リーマン方程式は以下のように要約される。

$$\begin{align*} f '(z) =& u_x + i v_x \\ =& v_y - i u_y \\ =& u_x -i u_y \\ =& v_y + i v_x \end{align*}$$

極座標形 ¹

$f \left( r e^{i \theta} \right) = u (r,\theta) + i v (r, \theta)$ 場合 $$\begin{cases} u_{r} (r, \theta) = {{ 1 } \over { r }} v_{\theta} (r,\theta) \\ v_{r} (r,\theta) = - {{ 1 } \over { r }} u_{\theta} (r,\theta) \end{cases}$$

説明

これまでに見ない複素数上での微分を格段に親しみやすくする定理である。実数上での微分公式と複素数上の微分公式が似ていることを示しており、非常に必要だ。

逆が必ずしも成り立たないことに注意。つまり、コーシー・リーマン方程式を満たしても$f$が微分可能でない場合がある。逆が成り立つ条件は偏導関数の連続性など、別に存在する。

証明

関数 $f$は $\mathscr{R}$上の全ての点で微分可能なので、$h \to 0$ の道に関係なく$f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over {h}}$が一意に存在する。

$h=\alpha + i \beta$とする。$\beta=0$の場合は$h$は実軸上を移動し、$\alpha=0$ の場合は$h$は虚軸上を移動するだろう。まず実軸を見ると、 $$\begin{align*} f '(z) =& \lim_{\alpha \to 0} {{ ( u(x+\alpha,y) - u(x,y) ) + i ( v(x+\alpha,y) - v(x,y) ) } \over {\alpha}} \\ =& u_{x} (x,y) + i v_{x} (x,y) \end{align*}$$ そして虚軸を見ると、 $$\begin{align*} f '(z) =& \lim_{\beta \to 0} {{ ( u(x,y+\beta) - u(x,y) ) + i ( v(x,y+\beta) - v(x,y) ) } \over {i \beta}} \\ =& { {u_{y} (x,y) + i v_{y} (x,y)} \over i } \\ =& v_{y} (x,y) - i u_{y} (x,y) \end{align*}$$ 極限を取る際に分母に$i \beta$があるため、この結果が導かれたことに注意。

$f ' (z)$は$h \to 0$の道に関係なく一意だとしたので、実部と虚部を比較すると$u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y)$であり、$-u_{y} (x,y) = v_{x} (x,y)$でなければならない。

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