📂整数論

解析的整数論とマンゴルト函数

定義 ¹

次のように定義された算術関数 $\Lambda$ をマンゴルト関数と言う。 $$ \Lambda (n) := \begin{cases} \log p & n = p^{m} , p \text{ is prime}, m \in \mathbb{N} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

基本性質

• [1] マンゴルト級数：対数関数 $\log$ と等しい。言い換えると、 $$ \sum_{d \mid n} \Lambda ( d ) = \log n $$

説明

$$ \begin{matrix} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \Lambda (n) & 0 & \log 2 & \log 3 & \log 2 & \log 5 & 0 & \log 7 & \log 2 & \log 3 & 0 \\ \sum_{d \mid n} \Lambda (d) & 0 & \log 2 & \log 3 & \log 4 & \log 5 & \log 6 & \log 7 & \log 8 & \log 9 & \log 10 \end{matrix} $$ 対数関数は特に解析的整数論で重要な関数であり、算術関数の微分を定義するのに必要不可欠であり、素数定理の核心要素となる。

証明

[1]

素数 $p_{1} , \cdots , p_{r}$ と自然数 $a_{1} , \cdots , a_{r}$ について $n = p_{1}^{a_{1}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$ とする。すると、 $$ n = \prod_{k=1}^{r} p_{k}^{a_{k}} \iff \log n = \sum_{k=1}^{r} a_{k} \log p_{k} $$ マンゴルト関数の定義に従って、 $$ \begin{align*} \sum_{d \mid n} \Lambda (d) =& \sum_{k=1}^{r} \sum_{m=1}^{a_{k}} \Lambda \left( p_{k}^{m} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{r} \sum_{m=1}^{a_{k}} \log p_{k} \\ =& \sum_{k=1}^{r} a_{k} \log p_{k} \\ =& \log n \end{align*} $$

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