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確率論における分離クラス 📂確率論

確率論における分離クラス

定理

測度空間 (S,B(S))(S, \mathcal{B}(S))で定義された二つの確率 PP、QQについて、以下を満たすC\mathcal{C}をセパレーティングクラスseparating classと呼ぶ。 P(A)=Q(A),∀A∈C  ⟹  P(A)=Q(A),∀A∈B(S) P(A) = Q(A), \forall A \in \mathcal{C} \implies P(A) = Q(A), \forall A \in \mathcal{B}(S)

説明

セパレーティングクラスが存在するということは、二つの測度が同じかどうかを確認するために、測度空間全体を確認する必要がなく、一部分だけを見れば良いという意味になる。感覚的には、こんな便利なクラスが簡単に存在するとは思えないかもしれないが、次の定理により比較的簡単な条件で見つけ出すことができる。

定理

π-システム C\mathcal{C}に対してσ(C)=B(S)\sigma (\mathcal{C}) = \mathcal{B}(S)が成り立ち、すべてのA∈CA \in \mathcal{C}に対してP(A)=Q(A)P(A) = Q(A)が成り立つならば、C\mathcal{C}はセパレーティングクラスである。

用途

π-システムという条件は、セパレーティングクラスの定義を直接満たすことと比較して、はるかに扱いやすい。このような定理があれば、セパレーティングクラスの存在を示すことが容易になり、結局のところ、二つの確率（測度）が等しいことを示すのが容易になるだろう。

証明

Dinkyinのπ-λ定理を使用するために以下の定義を導入する。

π-システムとλ-システム:

  1. 以下を満たすP\mathcal{P}を**π\pi-システム**と呼ぶ。 A,B∈P  ⟹  A∩B∈P A, B \in \mathcal{P} \implies A \cap B \in \mathcal{P}
  2. 以下の条件を満たすL\mathcal{L}を**λ\lambda-システム**と呼ぶ。
  • (i): ∅∈L\emptyset \in \mathcal{L}
  • (ii) A∈L  ⟹  Ac∈LA \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}
  • (iii) すべてのi≠ji \ne jに対してAi∩Aj=∅\displaystyle A_{i} \cap A_{j} = \emptysetの時 {An}n∈N⊂L  ⟹  ⋃n∈NAn∈L\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}

L:={A∈B(S):P(A)=Q(A)}\mathcal{L} := \left\{ A \in \mathcal{B}(S) : P(A) = Q(A) \right\}と定義すると、

  • (i): P(∅)=Q(∅)=0P( \emptyset ) = Q (\emptyset ) = 0だから∅∈L\emptyset \in \mathcal{L}だ。
  • (ii): P(Ac)=1−P(A)=1−Q(A)=Q(Ac)P(A^{c}) = 1 - P(A) = 1 - Q(A) = Q(A^{c})だからA∈L  ⟹  Ac∈LA \in \mathcal{L} \implies A^{c} \in \mathcal{L}だ。
  • (iii): 確率PP、QQは測度なので、{An}n∈N⊂L  ⟹  ⋃n∈NAn∈L\displaystyle \left\{ A_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L} \implies \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in \mathcal{L}を満たす。したがって、L\mathcal{L}はλ-システムである。

仮定では、すべてのA∈CA \in \mathcal{C}に対してP(A)=Q(A)P(A) = Q(A)が成り立っていたので、C⊂L\mathcal{C} \subset \mathcal{L}である。

Dinkyinのπ-λ定理: π-システムP\mathcal{P}がλ-システムL\mathcal{L}の部分集合であれば、P⊂σ(P)⊂L\mathcal{P} \subset \sigma ( \mathcal{P} ) \subset \mathcal{L}を満たすσ-フィールドσ(P)\sigma ( \mathcal{P} )が存在する。

仮定でC\mathcal{C}はπ-システムであったので、Dinkyinのπ-λ定理により、C⊂σ(C)⊂L\mathcal{C} \subset \sigma ( \mathcal{C}) \subset \mathcal{L}を満たすσ(C)=B(S)\sigma ( \mathcal{C}) = \mathcal{B}(S)が存在する。もちろん、L\mathcal{L}の定義からL⊂B(S)\mathcal{L} \subset \mathcal{B}(S)であり、L=B(S)\mathcal{L} = \mathcal{B}(S)であり、P(A)=Q(A)P(A) = Q(A)を満たすA∈CA \in \mathcal{C}もB(S)\mathcal{B}(S)に属することを意味する。つまり、すべてのA∈B(S)A \in \mathcal{B}(S)に対してP(A)=Q(A)P(A) = Q(A)が成り立ち、命題形に言い換えると、次のようになる。 P(A)=Q(A),∀A∈C  ⟹  P(A)=Q(A),∀A∈B(S) P(A) = Q(A), \forall A \in \mathcal{C} \implies P(A) = Q(A), \forall A \in \mathcal{B}(S)

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