分離合併位相空間

定義

$\left\{ X_\alpha \right\}_{\alpha \in A}$を任意の位相空間インデックス・ファミリーとしよう。$u \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$とする。すると、全ての$\alpha \in A$において$u \cap X_\alpha$が$ X_\alpha$での開集合の時、$u$が$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$で開集合$^{\ast}$であると言われる。

ここで言う開集合$^{\ast}$は、厳密には位相数学の開を意味するわけではない。しかし、そのような条件を満たす部分集合$u$を集めると、実際に$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$の位相になることが確認できる。だから、開と呼ぶ。

定理

位相としての分離合併集合

$\mathcal{T}$を$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$での開集合$^{\ast}$のコレクションとしよう。また、$\mathcal{T}_\alpha$を$X_\alpha$の位相としよう。

$(0)$: すると$\mathcal{T}$は$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$の位相であり、これを分離合併集合の位相^{disjoint union topology}と呼ぶ。

分離合併集合の位相の性質

$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$を分離合併集合の位相空間としよう。すると

$(a)$: $Y$を任意の位相空間としよう。すると、$f\ :\ \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha \rightarrow Y$が連続であることと、$\forall\ \beta\in A$、$f\circ \iota\ :\ X_\beta \rightarrow Y$が連続であることは同値だ。
$(b)$: 分離合併集合の位相は$(a)$を満たす$\bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$上の唯一の位相だ。
$(c)$: 部分集合$F \subset \bigsqcup \limits_{\alpha \in A} X_\alpha$が閉集合であることは、全ての$\alpha \in A$において$F\cap X_\alpha$が$X_\alpha$で閉集合であることと同値だ。

証明

$(0)$

戦略: 証明は位相になる三つの条件を満たしているか直接確認すればよい。

$(1)$

$\varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha$と全ての$\alpha \in A$において $$ \varnothing \cap X_\alpha=\varnothing \in \mathcal{T}_\alpha \\ \left( \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \right) \cap X_\alpha=X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha $$ 従って $$ \varnothing, \bigsqcup \limits_{\alpha \in A}X_\alpha \in \mathcal{T} $$

$(2)$

$u_{i} \in \mathcal{T},\quad \forall\ i\in \mathbb{N}$としよう。すると定義により $$ u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad \forall\ i\in \mathbb{N} $$ しかし、 $$ \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i}\right)\cap X_\alpha=\bigcup \limits_{i=1}^\infty \left( u_{i} \cap X_\alpha \right) $$ であり、開集合の可算合併も開集合であるので $$ \left( \bigcup \limits_{i=1}^\infty u_{i} \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha $$ 従って $$ \bigcup \limits_{i=1}^\infty\ u_{i} \in \mathcal {T} $$

$(3)$

$u_{1}, u_2 \in \mathcal{T}$としよう。すると定義により $$ u_{i}\cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha,\quad i=1,2 $$ しかし、 $$ (u_{1} \cap u_2)\cap X_\alpha=u_{1}\cap u_2\cap X_\alpha \cap X_\alpha=\left( u_{1}\cap X_\alpha \right) \cap \left(u_2\cap X_\alpha \right) $$ であり、開集合の交わりも開集合であるので $$ \left( u_{1} \cap u_2 \right) \cap X_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha $$ 従って $$ u_{1}\cap u_2 \in \mathcal {T} $$

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