📂確率論

測度論で定義される確率変数の独立

定義 ¹

確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとする。

全てのボレル集合 $B_{1} , B_{2} \in \mathcal{B} ( \mathbb{R} )$ に対して次が成り立つならば、確率変数 $X$、$Y$ は独立であるという。 $$P \left( X^{-1} (B_{1} ) \cap Y^{-1} (B_{2} ) \right) = P \left( X^{-1} (B_{1}) \right) P \left( Y^{-1} (B_{2}) \right)$$

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• まだ測度論に触れていないなら、確率空間という言葉は無視してもいい。

実際、確率論を勉強して基本的な確率分布論を超えると、事象の独立についてはそれほど取り扱わなくなる。もちろん、確率変数の定義によれば$X^{-1} (B_{1}) , Y^{-1} (B_{2}) \in \mathcal{F}$ は事象なので、本質的には事象の独立と同じ―拡張された概念だし、そう定義するのが正しいとも言える。

一見、式が複雑で気に入らないかもしれないが、確率変数自体が確率を数式で適切に扱うために導入されたものであるので、このような定義は「数式で扱う」という目的に忠実だと言えるだろう。特に有用な同値条件として、次のものがある。

定理

確率変数 $X$、$Y$ が独立であることは、次と同値である。

• [1] 期待値: 全てのボレル関数 $f$、$g$ に対して $$E \left( f(X) g(Y) \right) = E \left( f(X) \right) E \left( g(X) \right)$$ [2] ジョイント密度: $X$、$Y$ がジョイント密度 $f_{(X,Y)}$ を持つ場合 $$P(X,Y) = P_{X} \times P_{Y} \\ f_{(X,Y)} (x,y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$$