実数の虚数乗の大きさは常に1である
証明
$\theta = 0$なら、$r^0=1$だから自然に$\left| r^{i \theta} \right| = \left| r^{i \cdot 0} \right| = 1$が成立する。
$\theta \ne 0$なら $$ \left| r^{i \theta} \right| = \left| e^{i \theta \ln r} \right| = \left| e^{i \theta (\text{Log} |r| + i \arg r )} \right| $$ $\arg r = 0$となるから、 $$ \left| e^{i \theta (\text{Log}|r| + i \arg |r| )} \right| = \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| $$ $ \theta^{\prime} := \theta \text{Log}|r|$も実数で、任意の実数$\theta '$に対して$\left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1$が成立する。 $$ \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| = \left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1 $$
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