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実数の虚数乗の大きさは常に1である 📂複素解析

実数の虚数乗の大きさは常に1である

証明

θ=0\theta = 0なら、r0=1r^0=1だから自然にriθ=ri0=1\left| r^{i \theta} \right| = \left| r^{i \cdot 0} \right| = 1が成立する。

θ0\theta \ne 0なら riθ=eiθlnr=eiθ(Logr+iargr) \left| r^{i \theta} \right| = \left| e^{i \theta \ln r} \right| = \left| e^{i \theta (\text{Log} |r| + i \arg r )} \right| argr=0\arg r = 0となるから、 eiθ(Logr+iargr)=eiθLogr \left| e^{i \theta (\text{Log}|r| + i \arg |r| )} \right| = \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| θ:=θLogr \theta^{\prime} := \theta \text{Log}|r|も実数で、任意の実数θ\theta 'に対してeiθ=1\left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1が成立する。 eiθLogr=eiθ=1 \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| = \left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1