θ=0\theta = 0θ=0なら、r0=1r^0=1r0=1だから自然に∣riθ∣=∣ri⋅0∣=1\left| r^{i \theta} \right| = \left| r^{i \cdot 0} \right| = 1riθ=ri⋅0=1が成立する。
θ≠0\theta \ne 0θ=0なら ∣riθ∣=∣eiθlnr∣=∣eiθ(Log∣r∣+iargr)∣ \left| r^{i \theta} \right| = \left| e^{i \theta \ln r} \right| = \left| e^{i \theta (\text{Log} |r| + i \arg r )} \right| riθ=eiθlnr=eiθ(Log∣r∣+iargr) argr=0\arg r = 0argr=0となるから、 ∣eiθ(Log∣r∣+iarg∣r∣)∣=∣eiθLog∣r∣∣ \left| e^{i \theta (\text{Log}|r| + i \arg |r| )} \right| = \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| eiθ(Log∣r∣+iarg∣r∣)=eiθLog∣r∣ θ′:=θLog∣r∣ \theta^{\prime} := \theta \text{Log}|r|θ′:=θLog∣r∣も実数で、任意の実数θ′\theta 'θ′に対して∣eiθ′∣=1\left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1eiθ′=1が成立する。 ∣eiθLog∣r∣∣=∣eiθ′∣=1 \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| = \left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1 eiθLog∣r∣=eiθ′=1
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