📂偏微分方程式

ルジャンドル変換

• xやpについて、偏微分方程式の変数であることを強調するときは、通常の書体$x,p \in \mathbb{R}^{n}$で表記し、$s$の関数であることを強調するときは、太字$\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$で表記する。

定義 ¹

まず、シンプルにするために、ラグランジアンを変数$v\in \mathbb{R}^{n}$のみの関数としよう。

$$ L(v) = L : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} $$

ラグランジアン$L$が以下の二条件を満たすとする

• （a）$L$が凸関数であること。

  $$ \lambda L(v_{1}) + (1-\lambda)L(v_{2}) \le L\big( \lambda v_{1} +(1-\lambda)v_{2} \big) \quad \forall\ v_{1},v_{2}\in \mathbb{R}^{n},\quad \forall\ 0\le \lambda \le 1 $$

• （b）$\lim \limits_{ |v|\to \infty} \dfrac{ L(v) }{ |v| }=+\infty$

それならば、$L$のルジャンドル変換^{Legendre transform}$L^{\ast} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$を以下のように定義する。

$$ L^{\ast} (p) := \sup \limits_{v \in \mathbb{R}^{n}} \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \quad \forall \ p \in \mathbb{R}^{n} $$

フェンシェル変換^{Fenchel transform}とも呼ばれる。

説明

このとき、$p$はハミルトニアンの変数$\mathbf{p}= D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}},\ \mathbf{x}\big)$と同じである。$L^{\ast}$がうまく定義されていることは、以下のように証明できる。また、$\sup$と定義したが、実際には$\max$と同じであることも示すことができる。

定理

ルジャンドル変換$L^{\ast}(p)$はうまく定義される。また、$\sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} = \max \left\{ p\cdot v -L(v) \right\}$が成り立つ。

証明

うまく定義されていること

$L^{\ast}(p)$が実数値を持つことは、背理法で証明される。条件**（a）**により$L$が連続であることは明らか。そしてルジャンドル変換の定義$(\sup)$により、$-\infty$を値として持つことはできない。

$$ L^{\ast}(p) = \sup \left\{ p\cdot v -L(v) \right\} \in (-\infty, \infty] $$

これから、$L^{\ast}(p)=\infty$と仮定し、矛盾を示せば、実数値を持つことが証明される。

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$L^{\ast}(p)=\infty$と仮定しよう。すると、以下の条件を満たす数列$\left\{ v_{k} \right\}_{k=1}^\infty$が存在する。

$$ \begin{equation} a_{k}:= p\cdot v_{k} -L(v_{k}) \to \infty \quad \text{as } k \to \infty \label{eq1} \end{equation} $$

そして、すべての$k$に対して$v_{k} \ne 0$と仮定しよう。この仮定が成立する理由は、$a_{k} \to \infty$により$v_{k}=0$のケースは多くても数個しかなく、それらを除いた部分数列を再び$v_{k}$とすることができるためである。今、$\left\{ v_{k} \right\}$が有界であるか無界であるかの二つの場合がある。どちらの場合も矛盾が生じることを示せば、証明が完了する。

• ケース1. $\left\{ v_{k} \right\}$が有界の場合

  $\left\{ v_{k} \right\}$が有界であるため、何らかの点に収束する部分数列が存在し、これを再び$v_{k}$としよう。すると、以下のような$\left\{ v_{k} \right\}$が存在する。

  $$ v_{k} \to v_{0} \quad \text{as } k \to \infty,\quad \mathrm{for\ some}\ v_{0}\in \mathbb{R}^{n} $$

  すると、$L$が連続であるため、$a_{k} \to p \cdot v_{0} -L(v_{0}) \in \mathbb{R}^{n} \quad \text{as } k \to \infty$となり、これは$\eqref{eq1}$によって矛盾となる。

• ケース2. $\left\{ v_{k} \right\}$が有界でない場合

  有界でないため、以下のように仮定できる。

  $$ |v_{k}| \to \infty \quad \text{as } k \to \infty $$

  仮定により、$|v_{k}| \ne 0$であるから、$a_{k}=p \cdot v_{k}-L(v_{k})$の両辺を$|v_{k}|$で割ると以下のようになる。

  $$ \dfrac{a_{k}}{|v_{k}|}=\dfrac{p\cdot v_{k}}{|v_{k}|}-\dfrac{L(v_{k})}{|v_{k}|} $$

  ここで、右辺の最初の項に対してコーシーシュワルツの不等式を適用すると、以下のようになる。

  $$ \left| \dfrac{p\cdot v_{k}}{|v_{k}|} \right| \le |p| \left| \dfrac{v_{k}}{|v_{k}|}\right| = | p | $$

  すると、$k \to \infty$である極限を取れば、**（b）**により以下を得る。

  $$ \lim \limits_{ |v_{k}|\to \infty} \dfrac{a_{k}}{|v_{k}|} \le \lim \limits_{ |v_{k}|\to \infty} |p| -\dfrac{L(v_{k})}{|v_{k}|} = -\infty $$ この時、$|v_{k}|=\infty$の仮定により、$a_{k}$はさらに速く$-\infty$に発散しなければならない。しかし、これは$\eqref{eq1}$と矛盾する。

可能な二つのケースに対して、どちらも矛盾が生じるので、仮定$L^{\ast}(p)=\infty$が間違っていることがわかる。したがって、ルジャンドル変換はうまく定義されている。

$$ L^{\ast}(p) \in \mathbb{R} $$

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$\sup=\max$

これは、以下の条件を満たす$v_{p} \in \mathbb{R}^{n}$が存在することを示すことと同じである。

$$ L^{\ast}(p) = p\cdot v_{p}-L(v_{p}) $$

まず、ルジャンドル変換の定義$(\sup)$により、以下の条件を満たす数列$\left\{ v_{k} \right\}$が存在する。

$$ \begin{equation} a_{k} := p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p) \quad \text{as } k \to \infty \label{eq2} \end{equation} $$

最初に、$\left\{ v_{k} \right\}$が有界でないと仮定してみよう。すると$|v_{k}| \to \infty$であり、上で示したように、$a_{k} \to -\infty$となりこれは矛盾である。したがって、$\left\{ v_{k} \right\}$は有界である。$\left\{ v_{k} \right\}$が有界であるため、$v_{k} \to v_{p}$に収束する部分数列が存在する。したがって、次が成り立つ。

$$ p\cdot v_{k} - L(v_{k}) \to p \cdot v_{p} -L(v_{p}) \quad \text{as } k \to \infty $$

しかし、$\eqref{eq2}$から$p\cdot v_{k}-L(v_{k}) \to L^{\ast}(p)$であったため、次が成り立つ。

$$ p \cdot v_{p} -L(v_{p})=L^{\ast}(p) $$

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