逆説の数理論理的証明
法則 1
$$ p \to q \iff \lnot q \to \lnot p $$
説明
ある命題が真であれば、その対偶も真である。ある命題が偽であれば、その対偶も偽である。もちろん、逆converseが成り立つなら、対偶によって元の命題の逆reverseも成り立つ。
これらの表現は、数学に慣れていない人にとって難しいかもしれない。直感的な例を挙げて理解してみよう:
- $p$ : 天気が暑い
- $q$ : 汗をかく
- $p \to q$ : 天気が暑ければ、汗をかく
天気が暑ければ、汗をかくということが真であれば、汗をかいていないなら、他のことは分からなくても、天気が暑いわけではないということが分かる。
証明
$$ \begin{align*} p \to q \iff & \lnot p \lor q \\ \iff & \lnot p \lor \lnot (\lnot q) \\ \iff & \lnot (\lnot q) \lor \lnot p \\ \iff & \lnot q \to \lnot p \end{align*} $$
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『集合論(Set Theory: An Intuitive Approach)』、林幼烽、翻訳: 李興天、2011年、p29。 ↩︎