📂集合論

逆説の数理論理的証明

法則 ¹

$$p \to q \iff \lnot q \to \lnot p$$

説明

ある命題が真であれば、その対偶も真である。ある命題が偽であれば、その対偶も偽である。もちろん、逆^converseが成り立つなら、対偶によって元の命題の逆^reverseも成り立つ。

これらの表現は、数学に慣れていない人にとって難しいかもしれない。直感的な例を挙げて理解してみよう：

• $p$ : 天気が暑い
• $q$ : 汗をかく
• $p \to q$ : 天気が暑ければ、汗をかく

天気が暑ければ、汗をかくということが真であれば、汗をかいていないなら、他のことは分からなくても、天気が暑いわけではないということが分かる。

証明

$$\begin{align*} p \to q \iff & \lnot p \lor q \\ \iff & \lnot p \lor \lnot (\lnot q) \\ \iff & \lnot (\lnot q) \lor \lnot p \\ \iff & \lnot q \to \lnot p \end{align*}$$

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