複素数に対する一般化された二項係数
定義
複素数 $\alpha \in \mathbb{C}$ に関して、以下を 二項係数binomial Coefficientという。 $$ \binom{\alpha}{k} := \begin{cases} \displaystyle {{ \alpha ( \alpha - 1 ) \cdots ( \alpha - k + 1 ) } \over { k! }} & , k \in \mathbb{N} \\ 1 & ,k=0 \end{cases} $$
説明
元々、二項係数は $\alpha \in \mathbb{N}$ の場合にのみ直感的な意味を持つが、計算過程だけ考えれば、自然数である必要はない。否定的な整数はもちろん、実数、さらには複素数にまで拡張可能だ。
定理
$$ \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k} $$
証明
戦略：数学的帰納法と退屈な計算のみだ。
$k = 0$ の場合 $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ $k = 1$ の場合 $$ \alpha \cdot 1 + 1 \cdot \beta = \alpha + \beta $$ $k \ge 1$ の時、$\displaystyle \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k}$ が成り立つと仮定すると、 $$ \begin{align*} \binom{ \alpha + \beta }{ k + 1 } =& \binom{ \alpha + \beta }{ k } {{ \alpha + \beta - k } \over { k + 1 }} \\ =& \sum_{j=0}^{k} \binom{ \alpha }{ k - j } \binom{ \beta }{ j } \left( {{ \alpha - k + j } \over { k + 1 }} + {{ \beta - j } \over { k + 1 }} \right) \\ =& \sum_{j=0}^{k} \left[ {{ k - j + 1 } \over { k + 1 }} \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + {{ j + 1 } \over { k + 1 }} \binom{ \alpha }{ k - j } \binom{ \beta }{ j + 1 } \right] \\ =& \binom{ \alpha }{ k + 1 } + \sum_{j=1}^{k} \left( {{ k - j + 1 } \over { k + 1 }} + {{ j } \over { k + 1 }} \right) \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + \binom{ \beta }{ k + 1 } \\ =& \binom{ \alpha }{ k + 1 } + \sum_{j=1}^{k} \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + \binom{ \beta }{ k + 1 } \\ =& \sum_{j=0}^{k+1} \binom{ \alpha }{ (k + 1) - j } \binom{ \beta }{ j } \end{align*} $$
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