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複素数に対する一般化された二項係数 📂複素解析

複素数に対する一般化された二項係数

定義

複素数 α∈C\alpha \in \mathbb{C} に関して、以下を 二項係数binomial Coefficientという。 (αk):={α(α−1)⋯(α−k+1)k!,k∈N1,k=0 \binom{\alpha}{k} := \begin{cases} \displaystyle {{ \alpha ( \alpha - 1 ) \cdots ( \alpha - k + 1 ) } \over { k! }} & , k \in \mathbb{N} \\ 1 & ,k=0 \end{cases}

説明

元々、二項係数は α∈N\alpha \in \mathbb{N} の場合にのみ直感的な意味を持つが、計算過程だけ考えれば、自然数である必要はない。否定的な整数はもちろん、実数、さらには複素数にまで拡張可能だ。

定理

∑j=0k(αk−j)(βj)=(α+βk) \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k}

証明

戦略：数学的帰納法と退屈な計算のみだ。

k=0k = 0 の場合 1⋅1=1 1 \cdot 1 = 1 k=1k = 1 の場合 α⋅1+1⋅β=α+β \alpha \cdot 1 + 1 \cdot \beta = \alpha + \beta k≥1k \ge 1 の時、∑j=0k(αk−j)(βj)=(α+βk)\displaystyle \sum_{j=0}^{k} \binom{\alpha}{k-j} \binom{\beta}{j} = \binom{\alpha + \beta}{k} が成り立つと仮定すると、 (α+βk+1)=(α+βk)α+β−kk+1=∑j=0k(αk−j)(βj)(α−k+jk+1+β−jk+1)=∑j=0k[k−j+1k+1(αk−j+1)(βj)+j+1k+1(αk−j)(βj+1)]=(αk+1)+∑j=1k(k−j+1k+1+jk+1)(αk−j+1)(βj)+(βk+1)=(αk+1)+∑j=1k(αk−j+1)(βj)+(βk+1)=∑j=0k+1(α(k+1)−j)(βj) \begin{align*} \binom{ \alpha + \beta }{ k + 1 } =& \binom{ \alpha + \beta }{ k } {{ \alpha + \beta - k } \over { k + 1 }} \\ =& \sum_{j=0}^{k} \binom{ \alpha }{ k - j } \binom{ \beta }{ j } \left( {{ \alpha - k + j } \over { k + 1 }} + {{ \beta - j } \over { k + 1 }} \right) \\ =& \sum_{j=0}^{k} \left[ {{ k - j + 1 } \over { k + 1 }} \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + {{ j + 1 } \over { k + 1 }} \binom{ \alpha }{ k - j } \binom{ \beta }{ j + 1 } \right] \\ =& \binom{ \alpha }{ k + 1 } + \sum_{j=1}^{k} \left( {{ k - j + 1 } \over { k + 1 }} + {{ j } \over { k + 1 }} \right) \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + \binom{ \beta }{ k + 1 } \\ =& \binom{ \alpha }{ k + 1 } + \sum_{j=1}^{k} \binom{ \alpha }{ k - j + 1 } \binom{ \beta }{ j } + \binom{ \beta }{ k + 1 } \\ =& \sum_{j=0}^{k+1} \binom{ \alpha }{ (k + 1) - j } \binom{ \beta }{ j } \end{align*}

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