ディラックのデルタ関数
定義
以下の二つの条件を満たす関数をディラックデルタ関数という。
$$ \delta (x) = \begin{cases} 0, & x\neq 0 \\ \infty , & x=0 \end{cases} $$
$$ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx}=1 $$
説明
※クロネッカーデルタと間違えないように注意が必要だ。
工学では、単位インパルス関数unit impulse functionと呼ばれる。正確に言うと、数学的にディラックデルタ関数は関数ではない。それは0で無限大に発散するからだが、グリフィスの教科書ではこのように説明されている。「デルタ関数は$x=0$で値が無限大になるため、技術的には関数ではない。数学文献では、一般化した関数generalized functionまたは分布distributionと呼ばれる」上の式だけを見てもデルタ関数が何かを一度に理解するのは難しい。以下の図を見れば、その幾何学的な意味を把握するのに役立つだろう。
もう少し直感的に説明すると以下のようだ。高さが$n$、幅が$\displaystyle \frac{1}{n}$の長方形$R_{n}(x)$、または高さが$n$、底辺が$\displaystyle \frac{2}{n}$の二等辺三角形$T_{n}(x)$のような関数列の極限
デルタ関数が何か理解できたら、デルタ関数の特性を見てみよう。関数$f(x)$がデルタ関数ではない一般的な関数だとすると、$f(x)\delta (x)$の値は$x=0$を除くすべての場所で$0$である。（$\because$ $\delta (x)$が$x=0$を除くすべての場で$0$だから）つまり、$x=0$でのみ値が存在する。したがって、下記の式が成り立つ。
$$ f(x)\delta (x) = f(0) \delta (x) $$
積分形で表すと
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x) dx = f(0) \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) dx = f(0)} $$
一般的な場合を表すために、デルタ関数の峰を$x=0$から$x=a$に移すと、以下のようになる。
$$ \delta (x-a) = \begin{cases} 0, & x\neq a \\ \infty , & x=a \end{cases} $$
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x-a) dx}=1 } $$
$$ f(x)\delta (x-a) = f(a) \delta (x-a) $$
$$ \displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta (x-a) dx = f(a)} $$
3次元では、デルタ関数は以下のようになる。
$$ \int f( \mathbf{r} ) \delta ^3 (\mathbf{r}-\mathbf{a}) d\tau = f(\mathbf{a}) $$
この時、
$$ \int \delta ^3 (\mathbf{r} ) d\tau =1 $$
$$ \delta ^3 (\mathbf{r})=\delta (\mathbf{x}) \delta (\mathbf{y}) \delta (\mathbf{z}) $$