Multi-Resolution Analysis Scaling Equation
정리
함수 $\phi \in L^{2}(\mathbb{R})$가 multiresolution analysis을 생성한다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 주기가 $1$인 함수 $H_{0}\in L^{2}(0,1)$가 존재한다.
$$ \begin{equation} \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R} \label{eq1} \end{equation} $$
이를 scaling equation이라 한다. 여기서 $\hat{\phi}(\gamma)$는 $\phi$의 Fourier transform이다.
설명
식 $\eqref{eq1}$은 refinement equation이라고도 불린다. 또한 위의 정리를 만족하는 함수 $\phi$를 scaling function이라 부르거나, 혹은 $\phi$가 refinable하다고 한다.
$L^{2}(\mathbb{R})$의 closed subspaces의 수열 $\left\{V_{j}\right\}_{j \in \mathbb{Z}}$와 함수 $\phi \in V_{0}$가 아래의 조건을 만족하면 $\left( \left\{ V_{j} \right\}, \phi \right)$를 multiresolution analysis 라 한다.
(a) 각 $V_{j}$에 대해서 $\cdots V_{-1} \subset V_{0} \subset V_{1}\cdots$가 성립한다.
(b) $\overline{\cup_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}}=L^{2}(\mathbb{R})$이고 $\cap_{j\in\mathbb{Z}}V_{j}=\left\{ 0\right\}$이다.
(c) $\forall j\in \mathbb{Z}$, $V_{j+1}=D(V_{j})$이다.
(d) $\forall k \in \mathbb{Z}$, $f \in V_{0}$이면 $T_{k}f \in V_{0}$이다.
(e) $\left\{ T_{k} \phi\right\}_{k\in \mathbb{Z}}$가 $V_{0}$의 orthonormal basis이다.
$(\left\{ V_{j} \right\},\phi)$가 multiresolution analysis이면, $\phi$가 multiresolution analysis를 generate한다고 말한다. $T_{k}$는 translation, $D$는 dilation이다.
증명
$\phi$가 multiresolution analysis를 생성한다고 가정하였으므로 (e) 에 의해 $\left\{ T_{k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$는 $V_{0}$ orthonormal basis이다. $k=0$일 때를 생각해보면, $\phi \in V_{0}$이다. 그런데 (a) 의해 $V_{0}\subset V_{1}$이므로, $\phi \in V_{1}$이다. 또한 (c) 에 의해서 $V_{1}=D(V_{0})$이므로,
$$ D^{-1}\phi \in V_{0} $$
이다. $V_{0}$는 vector space이므로 상수배에 대해 닫혀있다. 따라서
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi \in V_{0} $$
그런데 $\left\{ T_{-k}\phi \right\}_{k\in \mathbb{Z}}$가 $V_{0}$의 orthonormal basis였으므로 계수 $\left\{ c_{k} \right\}$가 존재하여 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$ \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}D^{-1}\phi = \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T_{-k}\phi \label{eq2} \end{equation} $$
Lemma
normed space $V$ 위의 bounded linear operator $T$가 주어졌다고 하자. $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$는 $V$의 원소의 수열이다. 어떤 상수 $\left\{ c_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$에 대해서 $\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}$가 수렴하면 $$ T\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{v}_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}T\mathbf{v}_{k} $$ 가 성립한다.
이제 $\eqref{eq2}$의 양변에 Fourier transform을 적용하자. 그러면 위의 lemma에 의해
$$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\mathcal{F}D^{-1}\phi&= \mathcal{F}\sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}T _{-k}\phi \\ &= \sum _{k\in \mathbb{Z}} c_{k}\mathcal{F}T _{-k}\phi \end{align*} $$
이때 $\mathcal{F}D^{-1}=D\mathcal{F}$이고, $\mathcal{F}T_{-k}=E_{k}\mathcal{F}$이므로,
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}D \hat{\phi}(\gamma) = \sum _{k\in \mathbb{Z}}c_{k}E_{k}\hat{\phi}(\gamma) $$
이제 dilation과 modulation을 적용하면
$$ \hat{\phi}(2\gamma) =\sum _{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}\hat{\phi}(\gamma) $$
여기서 $H_{0}(\gamma) := \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}}c_{k}e^{2\pi i k \gamma}$로 정의하면 주기가 $1$인 함수가 된다. 따라서
$$ \hat{\phi}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\hat{\phi}(\gamma),\quad \gamma \in \mathbb{R} $$
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