logo

Ellipse 📂Geometry

Ellipse

Definition

The set of points on a plane whose sum of distances to two fixed points FF, F′F^{\prime} is constant, are called an ellipse.

5F1FA5DC1.png

The components of an ellipse are as follows.

  • FF, F′F^{\prime} are called foci.

  • aa is called the semimajor axis, and bb is called the semiminor axis. b=1−ϵ2ab=\sqrt{1-\epsilon^{2}}a is satisfied.

  • ϵ\epsilon is called the eccentricity of the ellipse. It represents how ellipsed is compressed, and the foci are ϵa\epsilon a away from the center of the ellipse. It can also be denoted as kk or ee.

    ϵ2=k2=e2={a2−b2a2,0<b<ab2−a2b2,0<a<b \epsilon^{2}=k^{2}=e^{2} =\begin{cases} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} ,&0<b<a \\ \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}, &0<a<b \end{cases}

  • The distance α\alpha from a focus to a point where a line perpendicular to the major axis meets the ellipse is called the latus rectum. α=(1−ϵ2)a\alpha = (1-\epsilon^{2})a is satisfied.

  • r0r_{0} is the distance from a focus to the pericenter, and r0=(1−ϵ)ar_{0}=(1-\epsilon)a is satisfied.

  • r1r_{1} is the distance from a focus to the apocenter 까지의거리이며까지의 거리이며 , and $가 성립한다.

설명

두 초점이 같으면 원이기 때문에, 보통 타원이라고 하면 두 초점이 서로 다르다는 것을 의미한다.

판별법

주어진 이차곡선 ,, 에 대해서 ,, 를 판별식이라 한다. 판별식이 음수인 이차곡선은 타원이다.

타원의 방정식

타원의 중심이 ,, 이고 장반경이 ,, , 단반경이 ,, 인 타원의 방정식은 아래와 같다.

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1 \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1

극 좌표에서 초점이 원점인 타원의 방정식

2.png

극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.

r=α1+ϵcos⁡θ r = \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta}

혹은

r=b2/a1+a2−b2acos⁡θ r = \frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta}

타원의 넓이

장반경이 ,, , 단반경이 ,, 인 타원의 넓이 ,, 는 아래와 같다.

A=abπ A=ab\pi

타원의 둘레

2.png

위 그림과 같은 타원의 둘레는 아래와 같다.

4b∫0π21−k2sin⁡2θdθ,k2=b2−a2b2 4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}}

제2 종 타원 적분

아래의 적분을 각각 제2종 완전 타원 적분, 제2종 불완전 타원 적분 이라고 한다.

E(k)=∫0π21−k2sin⁡2θdθ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta

E(ϕ,k)=∫0ϕ1−k2sin⁡2θdθ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta

타원의 일반화, 일립소이드

선형 변환 ,, 에 대해 ,, 차원 단위구 ,, 의 이미지 ,, 을 일립소이드라고 한다. ,, 의 고유값 ,, 와 그에 따른 단위 고유벡터 $ are stated. The axis of the ellipsoid are denoted by u1,⋯ ,umu_{1} , \cdots , u_{m} satisfying 에대해에 대해 .