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Ellipse 📂Geometry

Ellipse

Definition

The set of points on a plane whose sum of distances to two fixed points $F$, $F^{\prime}$ is constant, are called an ellipse.

5F1FA5DC1.png

The components of an ellipse are as follows.

  • $F$, $F^{\prime}$ are called foci.

  • $a$ is called the semimajor axis, and $b$ is called the semiminor axis. $b=\sqrt{1-\epsilon^{2}}a$ is satisfied.

  • $\epsilon$ is called the eccentricity of the ellipse. It represents how ellipsed is compressed, and the foci are $\epsilon a$ away from the center of the ellipse. It can also be denoted as $k$ or $e$.

    $$ \epsilon^{2}=k^{2}=e^{2} =\begin{cases} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} ,&0<b<a \\ \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}, &0<a<b \end{cases} $$

  • The distance $\alpha$ from a focus to a point where a line perpendicular to the major axis meets the ellipse is called the latus rectum. $\alpha = (1-\epsilon^{2})a$ is satisfied.

  • $r_{0}$ is the distance from a focus to the pericenter, and $r_{0}=(1-\epsilon)a$ is satisfied.

  • $r_{1}$ is the distance from a focus to the apocenter $까지의 거리이며 $, and $가 성립한다.

설명

두 초점이 같으면 원이기 때문에, 보통 타원이라고 하면 두 초점이 서로 다르다는 것을 의미한다.

판별법

주어진 이차곡선 $, $에 대해서 $, $를 판별식이라 한다. 판별식이 음수인 이차곡선은 타원이다.

타원의 방정식

타원의 중심이 $, $이고 장반경이 $, $, 단반경이 $, $인 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$ \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 $$

극 좌표에서 초점이 원점인 타원의 방정식

2.png

극 좌표계에서 타원의 방정식은 아래와 같다.

$$ r = \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta} $$

혹은

$$ r = \frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} $$

타원의 넓이

장반경이 $, $, 단반경이 $, $인 타원의 넓이 $, $는 아래와 같다.

$$ A=ab\pi $$

타원의 둘레

2.png

위 그림과 같은 타원의 둘레는 아래와 같다.

$$ 4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}} $$

제2 종 타원 적분

아래의 적분을 각각 제2종 완전 타원 적분, 제2종 불완전 타원 적분 이라고 한다.

$$ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta $$

$$ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta $$

타원의 일반화, 일립소이드

선형 변환 $, $에 대해 $, $차원 단위구 $, $ 의 이미지 $, $ 을 일립소이드라고 한다. $, $의 고유값 $, $와 그에 따른 단위 고유벡터 $ are stated. The axis of the ellipsoid are denoted by $u_{1} , \cdots , u_{m}$ satisfying $에 대해 $.