제2회 생새우초밥집 대회: 상상행렬^{Imaginary Matrix}

문제 소개

$$ x^{2} = -1 $$ 현대 수학에서 우리는 위와 같은 방정식의 해 중 하나인 $i$ 를 허수^{Imaginary Number}라 부릅니다. 복소수가 처음 고안되었을 때만 해도 이는 실수가 아니기 때문에 ‘상상 속의 수’라는 의미에서 Imaginary가 붙은 것이죠. 지금 와서 보면 애초에 정수든 실수든 모두 우리의 관념 속에서만 존재하는 추상적 실체^Entity들이며, 형식적으로 ‘위 방정식의 해 같은 것들’이라면 Imaginary를 붙이지 못할 이유가 없습니다. 이와 같은 정의를 $p \times p$ 행렬 $X$ 에 대해 일반화 해보자면, 단위 행렬 $E_{p}$ 에 대해 $$ X^{2} = - E_{p} $$ 을 만족시키는 행렬 $X$ 를 허행렬 또는 상상행렬^{Imaginary Matrix}이라 불러볼 수 있을 것 같습니다. 조금 더 명확히, 집합 $R$ 의 원소로 이루어진 $p \times p$ 상상행렬을 $R$ 상에서의 상상행렬^{Imaginary Matrix over $R$} 이라고 정의합시다. 이제 정의에서 원래 유래였던 ‘상상’의 개념은 흔적도 찾아볼 수 없게 되었네요. 예로써 $p=2$ 일 때 다음의 두 행렬 $$ \begin{align*} A_{1} :=& \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ i E_{2} =& \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \end{align*} $$ 은 다르게 생겼지만 둘 다 상상행렬입니다. 다만 여기서 $i$ 가 또 등장하는 건 너무 시시해질 것임을 짐직할 수 있습니다. 따라서 이번 대회의 주제는 복소수를 포함하지 않는 상상행렬, 즉 $R \subset \mathbb{R}$ 이라 할 때 $R$ 상에서의 상상행렬 $X \in R^{p \times p}$ 입니다.

연구예시

저희가 어떤 결과를 원하는지 예시로 보여드리겠습니다.

예시 펼치기

특수정리형 연구

특별한 제한 하에서 정리를 발견하고 증명하는 방식의 연구입니다.

정리 1: $A_{1}$ 의 일반화

실수 $a \ne 0$ 에 대해 모든 $A_{a} := \begin{bmatrix} 0 & - a \\ a^{-1} & 0 \end{bmatrix}$ 는 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 상에서의 상상행렬이다. 이는 $A_{1} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 의 실수에 대한 일반화다.

증명

$$ - a \cdot a^{-1} = -1 = a^{-1} \cdot \left( - a \right) $$ 이므로 이차행렬의 곱에 따라 $A_{a}$ 는 상상행렬이다.

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일반정리형 연구

$R$ 과 $p$ 에 관계없이 상상행렬 그 자체에 대한 연구입니다. 아무래도 특수한 정리보다 어렵겠지만, 원래 수학계가 다 그렇듯 정리 하나하나의 임팩트는 훨씬 큽니다.

정리 2: 사영행렬의 상상불능성

모든 사영행렬은 상상행렬이 아니다.

증명

사영행렬 $P$ 가 상상행렬이라 가정해보자. 사영행렬의 정의에 따라 $$ P = P^{2} = - E $$ 즉 $P = - E$ 인데, 이에 따르면 $$ P^{2} = \left( - E \right)^{2} = 1 \cdot E $$ 이므로 모순이다. 따라서 사영행렬은 상상행렬일 수 없다.

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정의형 연구

어떠한 정리나 고찰에서 아이디어를 얻고 그들에 대해 적절한 정의를 내리는 방식의 연구입니다. 보편적으로 그 아이디어들은 본인 스스로 찾아야겠죠? 당연히 이름을 붙이고 그에 대한 성질이 연구되어야 합니다.

정의: 쌍곡상상행렬

$$ \cosh^{2} \theta - \sinh^{2} \theta = 1 $$ 모든 실수 $\theta$ 에 대해 위 항등식이 성립하므로, $H_{\theta} := \begin{bmatrix} \sinh \theta & - \cosh \theta \\ \cosh \theta & - \sinh \theta \end{bmatrix}$ 은 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 상에서의 상상행렬이다. 이는 쌍곡함수의 성질에서 유래하므로 쌍곡상상행렬^{Hyperbolic Imaginary Matrix}이라 정의할 수 있을 것이다. 또한 $\theta = {0}$ 일 때는 정확히 $H_{0} = A_{1}$ 이므로, 쌍곡상상행렬 역시 $A_{1}$ 의 일반화로 볼 수도 있다.

제출: 커뮤니티 개인연구 게시판에 올리면 됩니다. 위 예시 말고도 실제로 제출을 어떻게 하는지를 알 수 있는 예시를 업로드하도록 하겠습니다.

연구주제

저희는 사전연구에 따라 다음 주제들의 가능성을 열어두고 있습니다. 본인만의 연구주제가 떠오르지 않는다면 얼마든지 참고해도 됩니다. 물론 다른 참가자의 연구주제를 이어가더라도 표절만 아니라면 전혀 문제 없습니다.

모든 $p \in \mathbb{N}$ 에 대해 상상행렬은 항상 존재하는걸까요?
정수론에 자신 있는 분들은 자연수 $q$ 에 대해 $\mathbb{Z}_{q}^{p \times p}$ 을 연구해보는 건 어떤가요?
행렬을 곱하려면 일단 덧셈이랑 곱셈은 있어야 하는데, 대수적으로 집합 $R$ 이 구체적으로 무엇인지 특정할 수 있을까요?
무한행렬은 어떤가요? 오히려 등비급수를 생각할 수 있어서 연구하기 좋지 않을까요?

평가 방식

제1회: Graph Group과 달리 비교적 정량적인 채점 방식을 도입하려 합니다.

주의사항: 생새우초밥지는 권위와 명망을 갖추 전문 학회지가 아닙니다.

각 연구는 원점수 $x$ 와 인용점수 $k$ 에 따라 대회 종료 시점에 평가점수 $z$ 가 부여된다. $$z = x \cdot \left( 1 + {{ k } \over { 10 }} \right)$$
- 원점수는 주최자 두 명의 평가의 평균으로써 계산되고, 인용점수는 아래 규칙에 따라 획득
각 연구자는 자신의 각 연구에 부여된 평가점수의 합으로써 최종점수를 산출한다.
- 작은 예시나 정리일지라도 발표할 동기를 부여하기 위한 조항
다른 연구자의 연구를 인용한 수만큼 인용점수를 얻는다.
- 다른 연구자의 연구에 관심을 가지고 대회 내부 인용을 장려하기 위한 조항
다른 연구자의 다른 연구에서 인용된 횟수에 $2$ 를 곱한만큼 인용점수를 얻는다.
- 대회 내부에서 선행 연구의 기여를 반영하기 위한 조항
단순 예시는 최대원점수 $1$점, 어떤 정리의 예시는 최대원점수 $5$점까지 획득한다.
- 추측이나 정리의 역이 성립하지 않는 반례 또한 최대원점수 $5$점
정리의 증명은 최대원점수 $20$점까지 획득한다.
- 정리의 서술에서 억지스럽지 않은 ‘모든’, ‘존재’, ‘유일’은 각 단어마다 $5$점의 최소원점수 부여
- 증명에 오류가 발견되고, 해결하지 못할 경우 당연히 최소원점수와 관계없이 $0$점
공동연구의 경우 참여자의 수가 $n$명일 때 최종점수의 $\sqrt{n}$을 곱해 분배한다.
다른 연구자의 연구에서 단순 오탈자보다 치명적인 오류를 발견하고 지적하는 경우 원래 연구자의 의사와 관계없이 공동연구자로 인정된다.

예를 들어, 원점수 $3.2$의 연구가 다른 $1$개의 연구를 인용했고 다른 연구에 의해 $3$회 인용되었다면 인용점수는 $k = 1 + 2 \cdot 3 = 7$점이고 평가점수는 $3.2 \times 1.7 = 5.44$점입니다.

공동연구에 관련된 조항은 솔직히 지금 벌써 필요한지 잘 모르겠지만 동료 평가^{Peer Review}와 비슷한 역할을 하라고 추가해봤습니다. 예를 들어 원점수 $20$점짜리의 연구에 오류가 발견되면 지적한 사람은 약 $14.14$점을 리뷰만으로 획득할 수 있습니다. 기대하는 순기능은 다른 연구를 꼼꼼하게 보게 만들고 원래 연구자 역시 증명의 사소한 오류를 방치하지 않게 되는 것입니다.

인용방법

인용양식은 [개인연구게시판의 글번호, 작성자]입니다.

예시 보러가기

가령 “[제2회] p=2 이고 대각성분의 합이 0인 상상행렬은 무수히 많이 존재한다"의 글을 인용하고 싶다면 다음과 같이 작성하면 됩니다.

[7, 류대식]에서는 행렬 $A = \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix}$가 상상행렬이 되기 위한 조건 중 $a+d = 0$인 것에 대해서만 살펴봤다.

수상기준과 보상

7월 31일까지 세 달동안 진행됩니다.
최종점수 상위 3명 순서대로 금,은,동메달을 수여합니다.
상금은 원화 10만원을 각 수상자 별 최종점수에 비례하게 분배합니다. 예를 들어,
- 금메달이 50점, 은메달이 30점, 동메달이 20점이라면 5만원, 3만원, 2만원입니다.
- 금메달이 99점, 은메달이 1점, 동메달이 0점이라면 금메달이 9만9천원, 은메달이 천원입니다.

정보

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