선행연구

# 선행연구

Research

## 반집합론Anti Set Thoery

### Definition

1. Axiom of Union Set does not hold. An union of set $A \cup B$ is a set difined by $$x \in A \cup B \implies x \in A \lor x \in B$$ , that is, $x \in A \lor x \in B$ can not guarantee $x \in A \cup B$ anymore.
2. An element $a \in A$ is called by an anti element of $b \in B$ if $$a \in A \land b \in B \implies a , b \notin A \cup B$$
3. A set $A$ is called by an anti set of $B$ if $$A \cup B = \emptyset$$
4. A set $A$ is safe to $B$ if $A$ has no anti element of any element in $B$. If $A$ is safe to $B$ and $B$ is safe to $A$, we say $A$ and $B$ is pairwise safe. mutually safe 도 정의 되어야함 근데 애초에 이게 필요한지부터 고민해봐야함
5. Let $ant (A)$ be a set which contains all anti elements of all element in $A$.

### Property

#### 1 Duality

If $a \in A$ is an anti element of $b \in B$, then $b \in B$ is also an anti element of $a \in A$. $$a = \b \implies b = \a$$ An anti element of anti element is itself, say $a = \setminus ( \a )$. $$a = \b = \setminus \left( \a \right)$$

#### 2 Emptyset

The empty set $\emptyset$ is an anti set of itself. $$\emptyset \cup \emptyset = \emptyset$$

#### 3 배중률

If $a$ is in $A$, then an anti element of $a$ is not in $A$.

이거 증명하려면 최소한 $A \cup A = A$ 정도는 공리로 있어 줘야 할 것 같네

#### 4

For sets $A,B,C$, the following hold if $A,B,C$ 가 mutually safe. $$\left( A \cup B \right) \cup C = A \cup \left( B \cup C \right)$$ counter example: $$A = \left\{ x \right\} \ B = \left\{ \setminus x \right\} \ C = \left\{ \setminus x \right\}$$

• 여집합을 어떻게 정의할 것인가?
• cardinality가 direct하게 정의가 안 되고 두 집합에 대해서 $card(A,B) = card(A \cup B)$ 뭐 이런 metric처럼 정의돼야할 수도 있겠네… 대신 $card(A) := card(A,A)$ 로 하면 기존 정의 커버함
• 위상공간 생각할거면 전체집합 $X$ 에 반집합이 포함돼도 되는지 고민을 좀 해봐야겠네
• 차집합을 무턱대고 안티 셋이랑 동일시하면 안되는거 아닌가 이거? 어디까지나 합집합으로 해야하는것 같은데
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