복소해석에서의 영점

복소해석에서의 영점

zero in complex Analysis

정의 1

$\alpha$ 가 함수 $f$ 의 $n$차 영점Zero of Order $n$이라는 것은 $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} g(z) \ne 0$ 인 어떤 함수 $g$ 에 대해 $f$ 가 다음과 같이 나타날 수 있다는 것과 동치다. $$ f(z) = (z-\alpha)^{n} g(z) $$

정리

영점은 고립점이다.

증명

일반성을 잃지 않고, $g$ 가 $f$ 의 영점 $\alpha$ 에서 해석적이라고 가정하고 $g(\alpha) = 2 \beta \ne 0$ 라 적자.

$g$ 가 $\alpha$ 에서 연속이므로 모든 $\beta$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta > 0$ 가 존재해야한다. $$ | z - \alpha | < \delta \implies \left| g(z) - g(\alpha) \right| < |\beta| $$ 앞서 $g(\alpha) = 2 \beta$ 라 적기로 했으므로 삼각부등식에 따라 $$ | z - \alpha | < \delta \implies |g(z)| \ge \left| |g(\alpha)| - \left| g(z) - g(\alpha) \right| \right| > |\beta| $$ 즉 $|z-\alpha| < \delta$ 에서 $|g(z)| > |\beta|$ 이므로 영점이 될 수 없고, $\alpha$ 는 고립점이다.

같이보기


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p66. ↩︎

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