영인자 그래프

영인자 그래프

정의

가환 링 $R$ 이 주어져 있다고 하자. $R$ 의 영인자 집합을 $Z(R)$ 이라고 할 때, 다음과 같이 정의된 그래프 $\Gamma (R)$ 을 $R$ 에 대한 영인자 그래프Zero Divisor Graph라고 한다. $$ V \left( \Gamma(R) \right) = Z(R) \\ E( \Gamma(R)) = \left\{ ab : ab=0 \right\} $$

설명

알다시피 영인자끼리 곱한다고해서 반드시 $0$ 이 되는 것은 아니다. 예로써, $ 2, 4 \in Z \left( \mathbb{Z}_{10} \right)$ 는 $\mathbb{Z}_{10}$ 의 영인자가 맞지만 그 곱은 $8 \ne 0$ 이다. 따라서 주어지는 가환 링 $R$ 에 따른 영인자 그래프는 자명하지 않은 형태를 가지며, 이에 대한 성질이나 분류가 관심의 대상이 된다. 가령 $\mathbb{Z}_{12}$ 를 생각해보면 그 영인자 그래프 $\Gamma \left( \mathbb{Z}_{12} \right)$ 는 다음과 같이 나타난다:

20200430\_013911.png

역사

영인자 그래프의 역사는 그리 길지 않다. 1988년 Beck에 의해 처음으로 정의된 영인자 그래프는 후에 데이빗 앤더슨David F. Anderson필립 리빙스톤Philip S. Livingston에 의해 연구되었다. 앤더슨은 리빙스톤의 스승으로, 이들의 논문에서 발표된 앤더슨-리빙스톤 정리1는 영인자 그래프의 연구에서 아주 큰 업적으로 남았다.

정수환의 영인자 그래프가 가장 직관적인 예시인만큼, 이를 확장한 환에 대해서도 연구가 이루어졌다. 요르단 대학에서 2008년 이매드 아부 오스바Emad Abu Osba에 의해2 가우시안 링에 대한 영인자 그래프 $\Gamma \left( \mathbb{Z}[i] \right)$ 의 분류가, 2014년 오사마 알캄Osama Alkam에 의해3 아이젠슈타인 링에 대한 영인자 그래프 $\Gamma ( \mathbb{Z} [ \omega] )$ 의 분류가 알려졌다.


  1. Anderson, Livingston. (1999). The Zero-Divisor Graph of a Commutative Ring ↩︎

  2. Osba. (2008). Zero Divisor Graph for the Ring of Gaussian Integers Modulo n ↩︎

  3. Alkam. (2014). Zero Divisor Graph for the Ring of Eisenstein Integers Modulo n ↩︎

댓글