벡터 필드의 영점, 인덱스

벡터 필드의 영점, 인덱스

Zero and Index of Vector Filed

벡터 필드의 인덱스 6-7, p195

다음의 조건을 만족하는 점 $p \in M$를 $V$의 고립된 영점isolated zero of $V$이라고 한다.

if $\exists$ an open set $u \in p$ such that $V(p) = 0$ but $V(q)\ne 0 \forall q \in u \setminus \left\{ p \right\}$

$\gamma$ is simple closed piecewise regular curve boundary $R$

$R$ : simply connected region with $p$ the only zero in $R$

설명

벡터필드는 물리적으로 **'힘'**을 묘사하는 개념이다. 따라서 zero 이라는 말은 그 점에 알짜힘(작용하는 힘의 총 합)이 $0$이라는 것을 의미한다.

정의

index of $V$ at $p$ denote $i_{p}(V) = \dfrac{1}{\pi}\delta\angle(u,V)$

$u =$ any vector filed, $\left\| u \right\| = 1$

정의

$M$을 컴팩트 곡면이라고 하자. $V$를 영점이 유한한 $M$ 위의 벡터필드라고 하자. 그러면 토탈 인덱스total index를 다음과 같이 정의한다.

$$ \text{total index of } V =: I(V) = \sum i_{p}(V) $$

정리

컴펙트 곡면 $M$ 위의 두 벡터필드 $V, W$에 대해서, 다음이 성립한다.

$$ I(V) = I(W) $$

설명

이는 total index가 벡터 필드에 의존하는 양이 아니라, 곡면 $M$ 자체에 내제되어있는 양이라는 의미이다.

증명

$\mathscr{T}$를 $M$의 삼각화라고 하자.

$\forall T \in \mathscr{T}$ contained in a simply connected coordinate patch each $T \in mathscr{T}$ has at most 1 zero of $V$ has at most 1 zero of $W$

$\forall$ zeros are contained in the interior of $T$ $u_{i}$ is unit vetorfield around $\partial T_{i}$

$$ I(V) = \dfrac{1}{2\pi} \sum \delta \angle (u_{i}, v) $$

$$ I(V) - I(W) = \dfrac{1}{2\pi} \sum\left( \delta\angle(u_{i},V) - \delta\angle(u_{i},W) \right) = \dfrac{1}{2\pi} \sum \delta \angle (W,V) = 0 $$

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