일, 일-운동 에너지 정리

일, 일-운동 에너지 정리

work work kinetic energy theorem

정의

$\mathbf{F}$가 물체에 작용하여 물체가 힘과 같은 방향으로 $s$만큼 이동했을 때, 힘의 크기와 이동거리의 곱 $W=Fs$를 힘 $\mathbf{F}$가 물체에 해준 work이라고 한다.

설명

이동거리-힘 그래프에서 그래프 아래의 면적이 일의 양과 같다. 이동방향과 힘의 방향이 같아야 힘이 물체에 일을 해준 것으로 정의하기에 아래와 같이 두 벡터의 내적으로 표현할 수도 있다.

$$ W= \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}=Fs\cos \theta $$

위에서 이동거리-힘 그래프의 면적과 같다고 했으니 아래와 같이 표현할 수도 있다.

$$ W=\int _{s_{0}}^{s} Fds $$

왜 이동 방향과 힘의 방향이 같은 경우에만 일을 했다고 하는지는 직관적으로 생각해보면 쉽게 알 수 있다. 아래의 그림을 보자.

dlf.png

위 그림은 $A$와 $B$가 물체를 각각 화살표 방향으로 밀고 있는 상황이다. 이때 물체가 초록색 화살표 방향으로 움직였다면 우리는 $B$가 물체를 움직이는데 관여하지 않았다고 생각한다. $A$ 혼자서 물체를 옮긴 것이다. 따라서 힘이 물체에 해준 일을 계산할 때는 힘과 이동 방향이 같은 경우만을 생각한다. 만약 이동 방향과 힘의 방향이 정확하게 반대인 경우에는 힘이 물체에 음의 일을 하는 것이다. 예를 들어 아래 그림과 같이 움직이는 물체를 멈추기 위해 이동 방향과 반대로 힘을 주는 경우를 생각할 수 있다.

dlf2.png

일-운동 에너지 정리1

알짜힘이 물체에 해준 일은 운동에너지의 변화량과 같다.

$$ W=\Delta T $$

증명

운동에너지의 정의에 의해 $F(x)=\frac{dT}{dx}$이므로 다음과 같다.

$$ W=\int_{x_{0}}^{x}Fdx=\int_{x_{0}}^{x}dT=T-T_{0}=\Delta T $$


  1. Grant R. Fowles and George L. Cassiday, Analytical Mechanics (7th Edition, 2005), p63 ↩︎

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