정전기학에서의 일과 에너지

정전기학에서의 일과 에너지

설명1

전하를 옮기느라 한 일

전위전기장 사이에 아래와 같은 식이 성립한다.

$$ -\int_\mathbf{a} ^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = \int_\mathbf{a} ^ \mathbf{b} \left( \nabla V \right) \cdot d\mathbf{l} = V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) $$

따라서 고정된 원천 전하 분포가 있고 시험전하 $Q$를 점 $\mathbf{a}$에서 점 $\mathbf{b}$까지 옮길 때 드는 은 다음과 같이 계산한다.

$$ W=\int_{\mathbf{a}}^\mathbf{b} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = -Q\int_\mathbf{a}^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} =Q[V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})] $$

위 식을 $Q$로 나누면 아래와 같다. 이는 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 전위차는 전하 $Q$를 $\mathbf{a}$에서 $\mathbf{b}$로 옮기는데 드는 일과 같다는 뜻이다.

$$ V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})=\dfrac{W}{Q} $$

전하 $Q$를 아주 먼 곳에서 위치 $\mathbf{r}$으로 옮기는데 드는 일은

$$ W=Q[V(\mathbf{r}) - V( \infty ) ]=QV(\mathbf{r}) $$

점 전하 분포의 에너지

아무 것도 없는 공간에 아주 먼 곳엣 있던 전하 $q_1$을 옮겨온다고 하자.아무 것도 없는 공간이었기 때문에 전기장이 없고 따라서 아무런 일도 들지 않는다.

다음으로 전하 $q_2$를 먼 곳에서 $\mathbf{r}_2$로 옮겨온다고 하자. 이제는 $q_1$이 있으므로 전기장이 있고 $q_2$를 옮겨오는데 드는 일이 생긴다. $V_1(\mathbf{r}_2)$를 $q_1$이 만드는 전위의 $\mathbf{r}_2$에서의 값, $\eta_{12}$를 $q_2$를 옮기고 난 후 $q_1$과의 거리라고 하자. 그러면 위에서 구한 식에 따라,

$$ W_2=q_2V_1(\mathbf{r}_2)=q_2\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1}{\eta_{12}} $$

이제 전하 $q_3$을 먼 곳에서 $\mathbf{r}_3$으로 옮겨온다고 하자. $q_1, q_2$가 만드는 전기장에 영향을 받으므로

$$ W_3=q_3\left[ V_{1}(\mathbf{r}_3)+V_{2}(\mathbf{r}_3) \right] =q_3\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{\eta_{13}}+\dfrac{q_2}{\eta_{23} }\right) $$

마찬가지로 전하 $q_4$를 가져오면

$$ W_4=q_4\left[ V_1(\mathbf{r}_4) +V_2(\mathbf{r}_4) +V_3(\mathbf{4}) \right]=q_4\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{q_1}{\eta_{14}}+\dfrac{q_2}{\eta_{24}} +\dfrac{q_3}{\eta_{34}}\right) $$

따라서 처음 4개의 전하를 모으는데 드는 일의 총 량은

$$ W=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{q_1q_2}{\eta_{12}} +\dfrac{q_1q_3}{\eta_{13}}+\dfrac{q_1q_4}{\eta_{14}}+\dfrac{q_2q_3}{\eta_{23}}+\dfrac{q_2q_4}{\eta_{24}}+\dfrac{q_3q_4}{\eta_{34}} \right) $$

$n$개의 전하를 옮겨오는 것으로 일반화를 하면

$$ W=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum \limits_i^n \sum \limits_{j \ne i } ^n \dfrac{q_iq_j}{\eta_{ij}} $$

$i=2$, $j=3$인 경우와 $i=3$, $j=2$인 경우는 같으므로 전체 경우에서 $2$를 나눠줬다. 정리하면

$$ W=\dfrac{1}{2}\sum \limits_i^n q_i \left( \sum \limits_{j \ne i} ^n \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{q_j}{\eta_{ij}} \right) $$

이 때 괄호 속은 $q_i$가 있는 곳 $\mathbf{r}_i$가 있는 곳에 $j\ne i$인 $q_j$들이 만드는 전위이므로

$$ W=\dfrac{1}{2}\sum \limits_i^n q_iV(\mathbf{r}_i) $$

이는 모여있는 점 전하들에 저장된 에너지를 뜻한다.

연속 전하 분포의 에너지

점 전하에 대해서 위에서 구한 식을 선전하밀도, 면전하밀도, 부피전하밀도에 대해서 각각 나타내면

$$ \begin{align*} W =&\ \dfrac{1}{2} \int \lambda V dl W =&\ \dfrac{1}{2} \int \sigma V da W =&\ \dfrac{1}{2} \int \rho V d\tau \end{align*} $$

부피전하에 대한 식에서 가우스 법칙 $\nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$을 써서 $\rho$ 대신 $\mathbf{E}$로 나타내면

$$ W=\dfrac{\epsilon_0}{2} \int (\nabla \cdot \mathbf{E}) V d\tau $$

위 식은 부분적분법을 이용하여 아래와 같이 만들어 줄 수 있다.

$$ W=\dfrac{\epsilon_0}{2} \left[ -\int \mathbf{E} \cdot (\nabla V)d\tau + \oint V\mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} \right] $$

$\nabla V=-\mathbf{E}$이므로

$$ W= \dfrac{\epsilon_0}{2} \left[ \int _\mathcal{V} E^2 d\tau + \oint_\mathcal{S}V\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} \right] $$

이 때 적분 영역은 전하를 포함하는 영역이라면 어떤 영역이라도 상관없다. 어차피 전하가 없는 곳에서의 전하밀도는 $\rho=0$이므로 모든 전하를 포함하기만 하면 적분영역을 얼마든지 크게 잡아도 결과는 같다. 이때 첫번째 항을 보면 피적분함수가 양수이기 때문에 적분영역이 넓어지면 적분값은 계속 커진다. 전체 값은 $W$로 고정돼있기 때문에 첫번째 항의 크기가 커질수록 두번째 항인 면적분의 값은 계속 작아져야한다. 따라서 전체 공간에 대해서 적분하면

$$ W=\dfrac{\epsilon_0}{2} \int_{\mathrm{total\ space}} E^2 d\tau $$


  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p100-106 ↩︎

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