위너 프로세스

위너 프로세스

정의

$s< t < t+u$ 라고 할 때, 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 $\left\{ W_{t} \right\}$ 를 위너 프로세스라 한다.

기초 성질

설명

위너 프로세스는 브라운 운동Brownian Motion이라도 불린다.

증명

[1]

(i)와 (iii)에 의해, $W_{t} = W_{t} - 0 = W_{t} - W_{0} \sim N ( 0 , t ) $

[2]

$W_{t}$ 는 정규분포를 따르므로 $\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$

[3]

$W_{t}$ 는 정규분포를 따르므로 $\displaystyle \text{Var} ( W_{t} ) = t$

[4]

$t > s$ 라고 두면 공분산의 정의와 [2]에 의해 $$ \displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E \left( \left[ W_{t} - E ( W_{t} ) \right] \left[ W_{s} - E ( W_{s} ) \right] \right) = E \left( W_{t} W_{s} \right) $$

$W_{t} = ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s}$ 이므로

$$ \begin{align*} E \left( W_{t} W_{s} \right) =& E \left[ \left( ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} \right) \cdot W_{s} \right] \\ =& E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] + E \left( W_{s}^{2} \right) \end{align*} $$

(ii)와 [2]에 의해 첫번째 항은

$$ E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] = E ( W_{t} ) \cdot E ( W_{t} - W_{s} ) = 0 $$

[3]에 의해 두번째 항은

$$ E \left( W_{s}^{2} \right) - 0^2 = E \left( W_{s}^{2} \right) - \left[ E ( W_{s} ) \right]^2 = \text{Var} ( W_{s} ) = s $$

정리하면 $\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = s$ 이다. 한편 $s > t$ 일 때도 같은 결과를 얻을 수 있으므로

$$ \displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = \min \left\{ t , s \right\} $$

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