위너 프로세스

위너 프로세스

wiener process

정의

$s< t < t+u$ 라고 할 때, 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 $\left\{ W_{t} \right\}$ 를 위너 프로세스라 한다.

  • (i): $W_{0} = 0$
  • (ii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}$
  • (iii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )$
  • (iv): $W_{t}$ 의 샘플 패스는 거의 어디서나 연속이다.

기초 성질

  • [1]: $\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t ) $
  • [2]: $\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$
  • [3]: $\displaystyle \text{Var} ( W_{t} ) = t$
  • [4]: $\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}$

설명

위너 프로세스는 브라운 운동Brownian Motion이라도 불린다.

  • (ii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}$ 이고

  • (iii): 인크리먼트가 정규분포 $N(0,t)$ 를 따른다는 것은 위너 프로세스는 특정 시점에는 관심이 없고 두 시점을 비교했을때 그 시차가 클수록 불확실성이 커짐을 의미한다.

  • (iv): 샘플 패스가 거의 어디서나 연속이라는 것은 움직임이 위너 프로세스를 따르는 어떤 점이 있다고 할 때 밑도 끝도 없이 움직이는, 마치 ‘순간이동’을 할 확률이 $0$ 이라고 봐도 좋다. 너무 어렵다면 그냥 갑작스런 도약을 하지 않는다고만 알아둬도 충분하다.

  • [1]: 재미있는 사실은 $W_{t}$ 의 확률밀도함수 $$ f_{W_{t}} (x,t) = {{1} \over { \sqrt{ 2 \pi t } }} e^{ - {{x^2} \over {2t} } } $$ 가 열방정식 $$ {{\partial u } \over { \partial t }} = {{1} \over {2}} {{\partial^2 u } \over { \partial x^2 }} $$ 의 해가 된다는 것이다.

  • [4]: 공분산이 무언가들의 미니멈으로 표현되는 것은 흔히 볼 수 있는 게 아니다. 반드시 증명과정을 따라가보고 어떻게 유도되었는지 이해하는 것을 추천한다.

증명

[1]

(i)와 (iii)에 의해, $W_{t} = W_{t} - 0 = W_{t} - W_{0} \sim N ( 0 , t ) $

[2]

$W_{t}$ 는 정규분포를 따르므로 $\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$

[3]

$W_{t}$ 는 정규분포를 따르므로 $\displaystyle \text{Var} ( W_{t} ) = t$

[4]

$t > s$ 라고 두면 공분산의 정의와 [2]에 의해 $$ \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E \left( \left[ W_{t} - E ( W_{t} ) \right] \left[ W_{s} - E ( W_{s} ) \right] \right) = E \left( W_{t} W_{s} \right) $$

$W_{t} = ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s}$ 이므로

$$ \begin{align*} E \left( W_{t} W_{s} \right) =& E \left[ \left( ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} \right) \cdot W_{s} \right] \\ =& E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] + E \left( W_{s}^{2} \right) \end{align*} $$

(ii)와 [2]에 의해 첫번째 항은

$$ E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] = E ( W_{t} ) \cdot E ( W_{t} - W_{s} ) = 0 $$

[3]에 의해 두번째 항은

$$ E \left( W_{s}^{2} \right) - 0^2 = E \left( W_{s}^{2} \right) - \left[ E ( W_{s} ) \right]^2 = \text{Var} ( W_{s} ) = s $$

정리하면 $\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = s$ 이다. 한편 $s > t$ 일 때도 같은 결과를 얻을 수 있으므로

$$ \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = \min \left\{ t , s \right\} $$

댓글