전염병 확산 모델에서 기초감염재생산수란?

전염병 확산 모델에서 기초감염재생산수란?

what is basic reproduction number in epidemic spreading model

정의

기초감염재생산수Basic Reproduction Number $\mathcal{R}_{0}$ 는 전염병이 확산되는 속도를 나타낸 값으로써, 기본적으로 한 명의 감염자가 다른 이를 얼마나 감염시킬지에 대한 기대값로 표현된다.

역학 구획 모델 1

미분방정식으로 표현된 동역학계에서는 자코비안 행렬의 실수부가 가장 큰 고유값을 $\mathcal{R}_{0}$ 이라 한다.

설명

정의만 읽어보면 무슨 소린지 이해하기 어렵지만 구체적인 값으로 생각해보면 그다지 어렵지 않다. COVID-19의 경우엔 $\mathcal{R}_{0} \approx 5.7$ 정도로 추정되는데2, 쉽게 말해 한 명이 코로나에 걸리면 대략 그 환자가 5.7명 정도를 감염 시킬 것으로 기대된다는 말이다.

수로 감이 잡혔다면 수식적인 이해 역시 그리 어렵지 않다. $\mathcal{R}_{0} < 1$ 면 한 명이 다른 한 명을 감염시킨다고도 기대하기 어려운 상황이니 곧 전염병이 종식될 것이고, $\mathcal{R}_{0} > 1$ 면 앞으로도 전염병이 잘 확산될 것이다.

이에 자코비안 행렬의 가장 큰 고유값을 $\mathcal{R}_{0}$ 로 간주하는 것은 아주 자연스럽다. 이것이 고유값이 $1$ 보다 큰 행렬은 행렬변환으로써 보았을 때 팽창, $1$ 보다 작은 행렬은 수축이기 때문에 감염자 수의 증가, 감소와 곧바로 연결된다. 같은 이유로 $\mathcal{R}_{0}$ 를 대발생 임계치Outbreak Threshold라 부르기도 한다. 34

실질감염재생산수

$\mathcal{R}_{0}$ 는 확산 초창기에 방역정책이 개입되지 않은, 해당 질병 고유의 확산력을 나타내는 동시에 오로지 그 때만 의미가 있다. 실제로 접촉을 통제하거나 백신을 투여하는 등 여러가지 대응 전략과 함께 질병의 확산 속도는 달라지게 된다. 이에 전체 집단 $N$ 에서 질병에 걸릴 수 있는Susceptible 집단 $S$ 의 비율을 곱해서 추정하는 수를 실질감염재생산수Effective Reproductive Ratio라 할 수도 있다. 수식으로는 다음과 같이 나타낸다. $$ \mathcal{R} := \mathcal{R}_{0} {{ S } \over { N }} $$ 극단적인 상황에서 $\mathcal{R}$ 의 의미를 해석해보자면, 전염병이 막 퍼지기 시작한 시기에는 $S \approx N$ 이므로 기초감염재생산수가 실제로 실질감염재생산수 $\mathcal{R} = \mathcal{R}_{0}$ 인 상황이 될 것이다. 반대로 감염될 사람이 거의 없는 상황 $S \approx 0$ 를 생각해보면, $\mathcal{R}_{0}$ 가 얼마나 높든 병에 걸릴 사람이 없어서라도 질병은 확산될 수가 없다. 제 아무리 뛰어난 리더라도 전염병 그 자체를 바꾸긴 어렵고, 훌륭한 방역정책을 펼친다는 것은 이 $\mathcal{R}$ 을 $1$ 이하로 떨어뜨리고 유지시킨다는 것이다.

실질감염재생산수의 산출방식은 모델이나 가정에 따라서 천차만별로 달라질 수 있으나, 기본적으로 위에서 본 것과 비슷한 개념들이 반영된다.


  1. Allen. (2006). An Introduction to Mathematical Biology: p71. ↩︎

  2. Sanche, S. (2020). High Contagiousness and Rapid Spread of Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2 ↩︎

  3. Capasso. (1993). Mathematical Structures of Epidemic Systems: p116. ↩︎

  4. Wei Wang. (2013). Asymmetrically interacting spreading dynamics on complex layered networks ↩︎

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