로지스틱 함수란?

로지스틱 함수란?

정의 1

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로지스틱 함수란 미분 방정식의 해 $y' = y(1-y)$ 로써, 다음과 같이 구해진다. $$ y(t) = {{ 1 } \over { 1 + e^{-t} }} $$

설명

조금 더 일반적인 형태로써 $\displaystyle f(x) := {{ L } \over { 1 + e^{-k(x-x_{0})} }}$ 와 같은 꼴을 사용하기도 한다. 로지스틱 함수는 시그모이드 함수며, 쓰임새가 많아 동역학, 통계학, 딥러닝, 생물학 등 여러 분야에서 언급되기도 하는 함수다.

로지스틱?

문제는 도대체 이게 왜 ‘로지스틱 함수’라고 불리는가다. Logistic의 뜻을 찾아보면 ‘물류의’, ‘병참학의’ 혹은 ‘기호논리학의’라는 말이 나오는데 함수의 형태만 보아서는 아무리 봐도 관계가 없다. 로지스틱 회귀분석회귀분석을 응용하면서 로지스틱 함수를 도입하는 분류 기법으로, 이 역시 병참학이나 기호논리학이랑은 관계가 없다.

가장 그럴싸한 뇌피셜은 바로 이 로지스틱 함수가 나온 배경인 로지스틱 미분방정식 $y’=y(1-y)$ 의 의미를 생각해보는 것이었다. 로지스틱 미분방정식은 인구 증가 모델로써 주로 언급되며 많은 분야에서 폭넓게 사용하고 있다. 로지스틱 미분방정식은 어떤 집단의 개체수가 폭발적으로 성장하다가 식량의 부족과 같은 이유로 성장세가 꺾이는 모습을 묘사한다.

여기서 ‘식량’은 취업자로 말하자면 일자리가 되고, 호기성 세균으로 말하자면 산소가 되는 등 상황에 따라 얼마든지 다른 것으로 취급될 수 있다. 아마 ‘그 무언가’를 적절하게 표현할 수 있는 고상한 표현이 Logistic이 아니었을까 한다. 병참이라는 것은 꼭 군량만을 의미하는 것이 아니라 전쟁에 필요한 것들 전반을 일컫고, 물류 역시 특정한 물건을 칭하지는 않는다. 로지스틱이 이공계 밖의 세상에서와 비슷한 의미가 되려면 아마 이렇게 이해될 수밖에 없을것이다.


  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function ↩︎

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