바인가르텡 맵 📂기하학

바인가르텡 맵

Weingarten Map

정의1

$M$을 곡면, $p \in M$을 곡면 위의 점이라고 하자. 다음과 같이 정의되는 사상 $L : T_{p}M \to \mathbb{R}^{3}$를 바인가르텡 맵Weingarten map이라 한다.

$$ L (\mathbf{X}) = - \mathbf{X}\mathbf{n} $$

이때 $\mathbf{X} \in T_{p}M$은 탄젠트 벡터, $\mathbf{n}$은 단위 노멀 $\mathbf{X}\mathbf{n}$는 $\mathbf{n}$의 방향 도함수이다.

성질

  1. $L$은 $L : T_{p}M \to T_{p}M$인 선형 변환이다.

  2. $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$가 $T_{p}M$의 기저이므로 $L(\mathbf{x}_{k}) = \sum\limits_{l}{L^{l}}_{k}\mathbf{x}_{l}$이라고 하면, 다음이 성립한다.

    $${L^{l}}_{k} = \sum_{i}L_{ik}g^{il} = \sum_{i}L_{ki}g^{il}$$

    여기서 $L_{ij}$는 제2 기본형식의 계수, $[g^{kl}]$은 제1 기본형식 계수행렬의 역행렬이다. 행렬로 표현하면,

    $$ \begin{bmatrix} {L^{l}}_{k} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {L^{1}}_{1} & {L^{1}}_{2} \\ {L^{2}}_{1} & {L^{2}}_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g^{li} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{ik} \end{bmatrix} $$

설명

정의에서 마이너스 부호는 편의를 위해 있는 것이다.

바인가르텡 맵은 각 점 $p$에서 각각의 탄젠트 방향으로의 $\mathbf{n}$의 변화율을 재는 작용소라고 이해할 수 있다. 이러한 이유로 모양 연산자shape operator, 형 작용소라고도 불린다.

  1. 정의에 의하면 $L$은 $T_{p}M$을 $\mathbb{R}^{3}$로 보내는 맵으로 정의했지만, 실제로는 $T_{p}M$으로 보내는 맵이 됨을 확인할 수 있다.

  2. 다시말해 ${L^{l}}_{k}$는 $L(\mathbf{x_{k}})$의 $l$번째 기저의 계수이다. 즉, 기저 $B = \left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$에 대한 좌표벡터로 나타내면 다음과 같다. $$ L(\mathbf{x}_{k}) = {L^{1}}_{k}\mathbf{x}_{1} + {L^{2}}_{k}\mathbf{x}_{2} $$ $$ \left[ L(\mathbf{x}_{k}) \right]_{B} = \begin{bmatrix} {L^{1}}_{k} \\ {L^{2}}_{k} \end{bmatrix} $$ 따라서 $L$의 행렬표현은 다음과 같다. $$ [L]_{B} = \begin{bmatrix} {L^{1}}_{1} & {L^{1}}_{2} \\ {L^{2}}_{1} & {L^{2}}_{2} \end{bmatrix} $$ 또한 제1 기본형식의 성질에 의해 다음이 성립한다. $$ L_{ij} = \sum_{l}L_{il}\delta_{lj} = \sum\limits_{l,k} L_{il}g^{lk}g_{kj} = \sum\limits_{l,k} L_{li}g^{lk}g_{kj} = \sum\limits_{k}{L^{k}}_{i}g_{kj} $$

$L$이 유한차원 벡터공간사이의 선형변환이므로, $\trace{L}$과 $\det(L)$은 불변량이고 이를 각각 평균 곡률, 가우스 곡률이라 한다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p125 ↩︎

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