바인가르텡 맵

바인가르텡 맵

Weingarten Map

정의1

$M$을 곡면, $p \in M$을 곡면 위의 점이라고 하자. 다음과 같이 정의되는 사상 $L : T_{p}M \to \mathbb{R}^{3}$를 바인가르텡 맵Weingarten map이라 한다.

$$ L (\mathbf{X}) = - \mathbf{X}\mathbf{n} $$

이때 $\mathbf{X} \in T_{p}M$은 탄젠트 벡터, $\mathbf{X}\mathbf{n}$는 $\mathbf{n}$의 방향 도함수이다.

성질

  1. $L$은 $L : T_{p}M \to T_{p}M$인 선형 변환이다.

  2. ${L^{l}}_{k} = \sum \limits_{i} L_{ik}g^{il}$이라고 정의하면, 다음이 성립한다.

    $$L(\mathbf{x}_{k}) = \sum_{l} {L^{l}}_{k}\mathbf{x}_{l}$$

    여기서 $L_{ij}$는 제2 기본형식의 계수, $[g^{il}]$은 제1 기본형식 계수행렬의 역행렬이다.

설명

정의에서 마이너스 부호는 편의를 위해 있는 것이다.

바인가르텡 맵은 각 점 $p$에서 각각의 탄젠트 방향으로의 $\mathbf{n}$의 변화율을 재는 작용소라고 이해할 수 있다.

shape operator모양 연산자라고도 불린다.

  1. 정의에 의하면 $L$은 $T_{p}M$을 $\mathbb{R}^{3}$로 보내는 맵으로 정의했지만, 실제로는 $T_{p}M$으로 보내는 맵이 됨을 확인할 수 있다.

  2. 다시말해 ${L^{l}}_{k}$는 $L(\mathbf{x_{k}})$의 $l$번째 기저의 계수이다. 즉, 기저 $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$에 대한 좌표벡터로 나타내면 다음과 같다.

$$ L(\mathbf{x}_{k}) = ({L^{1}}_{k}, {L^{2}}_{k}) $$


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p125 ↩︎

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