연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수

연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수

정리

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어디에서도 미분할 수 없는 연속함수가 존재한다.

증명

Strategy: 연속함수 $g_{1} (x) := | x - 1 |$ 과 $g_{2} (x) := | x - 2 |$ 을 생각해보자. $g_{1}$ 은 $x=1$ 에서, $g_{2}$ 는 $x=2$ 에서 미분가능하지 않다. $(g_{1} + g_{2})$ 는 $x = 1$ 와 $x = 2$ 두 점 모두에서 미분가능하지 않다. 이러한 방식으로 $\displaystyle G: = \sum_{k=1}^{\infty} g_{k}$ 을 구성해보면 $G$ 는 $x \in \mathbb{N}$ 에서 미분가능하지 않을 것이다. 물론 이는 바이어슈트라스 함수라고 하기엔 너무 많은 곳에서 미분가능하다. 진짜 바이어슈트라스 함수 $F$ 는 연속성을 가지되 미분불가능한 점이 빠르게 늘어나는 $f_{k}$ 들의 합으로 만들어진다.


Part 2-2에서 $\displaystyle F'(x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 이었지만 Part 2-1에서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 는 발산하므로 가정에 모순이다.

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