연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수

연속이지만 미분할 수 없는 함수: 바이어슈트라스 함수

weierstrass Function

정리

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어디에서도 미분할 수 없는 연속함수가 존재한다.

증명

Strategy: 연속함수 $g_{1} (x) := | x - 1 |$ 과 $g_{2} (x) := | x - 2 |$ 을 생각해보자. $g_{1}$ 은 $x=1$ 에서, $g_{2}$ 는 $x=2$ 에서 미분가능하지 않다. $(g_{1} + g_{2})$ 는 $x = 1$ 와 $x = 2$ 두 점 모두에서 미분가능하지 않다. 이러한 방식으로 $\displaystyle G: = \sum_{k=1}^{\infty} g_{k}$ 을 구성해보면 $G$ 는 $x \in \mathbb{N}$ 에서 미분가능하지 않을 것이다. 물론 이는 바이어슈트라스 함수라고 하기엔 너무 많은 곳에서 미분가능하다. 진짜 바이어슈트라스 함수 $F$ 는 연속성을 가지되 미분불가능한 점이 빠르게 늘어나는 $f_{k}$ 들의 합으로 만들어진다.


  • Part 1. $F$ 의 연속성

    $$ f_{0} (x) := \begin{cases} x &, 0 \le x < {{ 1 } \over { 2 }} \\ 1 - x &, {{1} \over {2}} \le x < 1 \end{cases} $$

    $$ f_{0} (x) := f_{0} (x + 1) $$

    위와 같은 주기함수 $f_{0}$ 을 정의하고 다음과 같이 $f_{k}$, $F$ 를 정의하자.

    $$ f_{k} (x) := {{ f_{0} ( 2_{k} x ) } \over { 2^{k} }} $$

    $$ F (x) := \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} (x) $$

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    $f_{k}$ 는 위 그림과 같이 $\mathbb{R}$ 에서 연속이다.

    바이어슈트라스 M 판정법

    함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 과 $x \in E$ 에 대해 $|f_{n}(z)| \le M_{n}$ 을 만족하는 양수의 수열 $M_{n}$ 이 존재하고 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$ 이 수렴하면 > $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ 은 $E$ 에서 절대수렴하고 균등수렴한다.

    $$ \begin{align*} M_{n} := {{ 1 } \over { 2^{n+1} }} \end{align*} $$

    이라고 하면

    $$ | f_{n} (x) | \le M_{n} $$

    $$ \sum_{n=0}^{\infty} M_{n} = 1 $$

    이므로 $F$ 는 균등수렴하고, $F$ 는 연속이다.

  • Part 2. $F$ 의 미분불가능성

    $F$ 는 주기가 $1$ 이므로 $[ 0 , 1 )$ 에서만 미분불가능함을 보이면 $\mathbb{R}$ 에서 미분가능하지 않다. $F$ 가 어떤 $x_{0} \in [0,1)$ 에서 미분가능하다고 가정해보자.

    • Part 2-1. $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 의 발산성

      $$ \displaystyle \alpha_{n} := {{p} \over {2^{n} }} $$

      $$ \displaystyle \beta_{n} := {{p+1} \over {2^{n} }} $$

      이라고 두면 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해서 $x_{0} \in [ \alpha_{n} , \beta_{n} )$ 가 되도록 하는 $p \in \mathbb{Z}$ 를 고를 수 있을 것이다. $[ \alpha_{n} , \beta_{n} )$ 는 길이가 $\displaystyle {{1} \over {2^{n}}}$ 이고, 다음 그림과 같이 $x_{0}$ 를 포함하도록 하는 $[0,1)$ 의 $(p+1)$ 번째 구간이다.

      20190702\_104836.png

      $n$ 이 $1$ 커질 때마다 $[ \alpha_{n} , \beta_{n} )$ 은 절반씩 줄어들며, $k < n$ 이라고 하면

      $$ [ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \subseteq [ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ] $$

      이다. 한편 $[ \alpha_{k+1} , \beta_{k+1} ]$ 에서 $f_{k}$ 는 증가하거나 감소하기만 하므로, 그보다 더 작거나 같은 구간인 $[ \alpha_{n} , \beta_{n} ]$ 에서도 증가하거나 감소하기만 한다. 따라서 $c_{k}$ 를

      $$ c_{k} := {{ f_{k} ( \beta_{n} ) - f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} $$

      와 같이 정의하면 $c_{k}$ 는 $n$ 에 무관하게 $c_{k} = 1$ 이거나 $c_{k} = -1$ 일 수밖에 없다. 무한급수의 성질에 따라 $c_{k}$ 가 수렴하지 않으면 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 는 발산해야한다. 이는 $n \in \mathbb{N}$ 이 어떻게 주어지든 똑같은 방식으로 보일 수 있으므로 $n$ 에 관계 없이 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 가 수렴하지 않는다고 말할 수 있다.

    • Part 2-2. $\displaystyle F’(x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$

      $F$ 가 $x_{0}$ 에서 미분가능하다고 가정했고 $n \to \infty$ 일 때 $[ \alpha_{n} , \beta_{n} ] \to [x_{0} , x_{0}]$ 이므로

      $$ F’(x_{0}) = \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} $$

      한편 $k \ge n$ 에 대해 $f_{k} ( \alpha_{n} ) = f_{k} ( \beta_{n} ) = 0$ 이므로

      $$ F ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \alpha_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) $$

      $$ F ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{\infty} f_{k} ( \beta_{n} ) = \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) $$

      과 같이 $F$ 를 유한급수로 나타낼 수 있다. 그러면

      $$ \begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} c_{k} =& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} c_{k} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \beta_{n} ) - \sum_{k=0}^{n-1} f_{k} ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& \lim_{n \to \infty} {{ F ( \beta_{n} ) - F ( \alpha_{n} ) } \over { \beta_{n} - \alpha_{n} }} \\ =& F’ ( x_{0} ) \end{align*} $$

Part 2-2에서 $\displaystyle F’(x_{0}) = \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 이었지만 Part 2-1에서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} c_{k}$ 는 발산하므로 가정에 모순이다.

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