약 도함수

약 도함수

빌드업

초함수의 미분을 정의하는 아이디어를 떠올려보자. $u \in {L}_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$에 대해서 정칙 초함수 $T_{u}$가 존재한다. $u$가 미분 가능하다면 부분적분법에 의해 다음의 식이 성립하여, $T_{u}$의 도함수를 $u$의 도함수인 $u'$에 대응되는 $T_{u'}$으로 정의했다.

$$ \begin{align*} T_{u}'(\phi) &:= T_{u^{\prime}}(\phi) \\ &= \int u^{\prime}(x)\phi(x)dx \\ &= \left[ u(x) \phi(x) \right]_{-\infty}^{\infty} -\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx \\ &= -\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx \\ &= -T_{u}(\phi^{\prime}) \end{align*} $$

그런데 만약 $u(x)$가 $\Omega$에서 미분가능하지 않다고 해보자. 그럼에도 불구하고 $u$에 대응하는 초함수 $T_{u}$는 정의에 의해 다음과 같은 도함수를 갖는다.

$$ T_{u}^{\prime}(\phi) = T_{u}(\phi^{\prime}) $$

따라서 만약 다음의 식을 만족하는 $v(x)$가 존재하면 이를 $u(x)$의 도함수로 취급할 수 있을 것이다.

$$ -T_{u}(\phi^{\prime}) = -\int u(x)\phi ^{\prime} (x) dx = \int v(x)\phi(x)dx = T_{v}(\phi) $$

이를 멀티인덱스 $\alpha$에 대해서 확장하면 다음과 같다.

$$ (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} u(x){D}^{\alpha}\phi(x)dx = \int_{\Omega}v_{\alpha}(x)\phi(x)dx, \quad \forall\ \phi \in \mathcal{D}(\Omega) $$

정의1

$u \in {L}_{\mathrm{loc}}^1(\Omega)$라고 하자. 만약 다음과 같은 식을 만족하는 $v_{\alpha}$가 존재하면, 이를 $u$의 약 도함수weak derivative, 혹은 초함수적 도함수distributional derivative라고 한다.

$$ \begin{align*} T_{{v}_{\alpha}} &= {D}^{\alpha}T_{u} & \text{in } \mathcal{D}^{\ast}(\Omega) \\ \int_{\Omega}v_{\alpha}(x)\phi(x)dx &= (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} u(x){D}^{\alpha}\phi(x)dx & \forall\ \phi \in \mathcal{D}(\Omega) \end{align*} $$

예시

구간 $[-1, 1]$에서 $u$, $v$가 아래와 같이 정의돼있다고 하자.

$$ u= |x| \quad \text{and} \quad v=\begin{cases} 1 & 0<x\le1 \\ 0 & x=0 \\ -1 & -1\le x <0 \end{cases} $$ 그러면 $u$는 $x=0$에서 미분이 불가능하므로 $[-1,1]$에서 도함수를 정의할 수 없지만 $v$가 $u$의 약 도함수가 된다. $v$가 $u$의 약 도함수가 됨은 아래의 과정으로 확인할 수 있다. $\phi \in \mathcal{D}(\Omega)$라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} -\int_{-1}^1 u(x) \phi^{\prime}(x)dx &= -\int_{-1}^{0} |x| \phi^{\prime}(x) dx -\int_{0}^{1} |x| \phi^{\prime}(x) dx \\ &= -\int_{-1}^{0} -x \phi^{\prime}(x) dx -\int_{0}^{1} x \phi^{\prime}(x) dx \\ &= -\left( [-x\phi(x)]_{-1}^{0} +\int_{-1}^{0}\phi(x)dx \right) - \left( [x\phi(x)]_0^1-\int_0^1 \phi(x)dx \right) \\ &= \int_{-1}^{0} -1 \cdot \phi(x) dx + \int_{0}^{1}\ 1 \cdot \phi(x) dx \\ &= \int_{-1}^1v(x)\phi(x) dx \end{align*} $$

실제로 $v(x)$의 값은 $x \ne 0$인 곳에서는 모두 $u'(x)$와 같고, $x=0$에서는 $u(x)$의 [좌우미분계수]의 중간값을 가진다. 따라서 $v(x)$를 $u(x)$의 도함수로 취급해도 무리가 없음을 알 수 있다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p22 ↩︎

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