임의의 함수의 절대값을 두 개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법

임의의 함수의 절대값을 두 개의 음이 아닌 함수로 표현하는 방법

정리

기본

함수 $f : X \to \mathbb{R}$ 의 절대값 $|f|$ 는 $f$ 의 양의 부분 $f^{+}$ 와 음의 부분 $f^{-}$ 에 대해 다음과 같이 나타난다. $$ |f| = f^{+} + f^{-} $$

고급

함수 $g : X \to \mathbb{R}$ 은 [[거의 어디서나]] $g \ge 0$ 이라고 하자.

설명

함수의 절대값 표현은 양의 부분과 음의 부분의 정의에 따라 곧바로 유도되며, 특히 실해석에서 쓰일 일이 많다. 다음의 유용한 성질들을 자유자재로 사용할 수 있게 되도록 하자.

절대값 내외부, 부호 출입 등은 보기 편하고 이해하기 좋으라고 달아놓은 말일 뿐 공식적인 명명은 따로 없다. 이 성질들은 역시 양의 부분과 음의 부분, 절대값의 정의에 따라 위에서 아래로 바로바로 증명된다.

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