월리스 곱

월리스 곱

정리

$$ \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} {{4n^2} \over {4n^2 - 1}} = \lim_{n \to \infty} {{2 \cdot 2 } \over { 1 \cdot 3 } } \cdot {{4 \cdot 4 } \over { 3 \cdot 5 } } \cdot \cdots \cdot {{2n \cdot 2n } \over { (2n-1) \cdot (2n+1) } } = {{ \pi } \over {2}} $$

설명

급수뿐만이 아니라 곱으로도 원주율을 구할 수 있다는 건 두말할 것도 없이 신기하고 유용한 사실이다. 본디 증명은 이보다 어렵고 사실상 싱크함수의 오일러 표현을 증명하는 과정에 포함되어 있다고 볼 수 있다.

증명

싱크함수의 오일러 표현: $${{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right)$$

$\displaystyle x = {{ \pi } \over {2}}$ 를 대입하면 $$ \displaystyle {{2} \over {\pi}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - { {1} \over { 4 n^2} } \right) $$ 양변에 역수를 취하면 원하던 식을 얻는다.

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