구좌표계에서의 미소부피
volume in polar coordinates
공식
구좌표계에서 미소 부피는 아래와 같다.
$$ dV=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi $$
구 표면 위의 미소 면적은 $dr$을 곱하지 않음으로써 얻을 수 있다.
$$ da=\color{blue}{rd\theta} \cdot \color{red}{r\sin\theta d \phi}=r^{2}\sin\theta d\theta d\phi $$
설명
그림을 통한 이해
구좌표계에서 미소부피는 위 그림에서 보이는 바와 같이 (초록선의 길이)$\times$(파란선의 길이)$\times$(빨간선의 길이)로 나타남을 알 수 있다. 원점에서 세 선이 겹치는 곳까지의 거리를 $r$이라고 하자. 초록선의 길이는 길이 성분의 미소변화량이니까 $\color{green}{dr}$이다. 파란색 선은 지름이 $r$, 각도가 $d\theta$인 호이다. 호의 길이는 지름과 각도의 곱이므로 $\color{blue}{rd\theta}$이다. 빨간색 선의 길이도 같은 방법으로 구할 수 있다. 빨간색 선은 지름이 $\color{orange}{r\sin\theta}$, 각도가 $d\phi$인 호이다. 따라서 길이는 $\color{red}{r\sin\theta d \phi}$이다. 그러므로 구좌표계에서의 미소부피는
$$ dV=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi $$
수식을 통한 이해
직교 좌표를 구 좌표로 표현하면 아래와 같다.
$$ \begin{align*} x &= r\sin\theta \cos \phi \\ y &= r\sin\theta \sin\phi \\ z &= r\cos\theta \end{align*} $$
직교 좌표계에서 구 좌표계로 좌표를 변환할 때의 자코비안의 행렬식은 아래와 같다.
$$ \begin{align*} & \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta } & \dfrac{\partial x}{\partial \phi } \\[1em] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta } & \dfrac{\partial y}{\partial \phi } \\[1em] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta } & \dfrac{\partial z}{\partial \phi } \end{vmatrix} \\ &= \frac{\partial x}{\partial r}\left( \frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{\partial z}{\partial \phi }-\frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial \theta }\right)+\frac{\partial x}{\partial \theta}\left( \frac{\partial y}{\partial \phi }\frac{\partial z}{\partial r }-\frac{\partial y}{\partial r }\frac{\partial z}{\partial \phi } \right)+\frac{\partial x}{\partial \phi}\left( \frac{\partial y}{\partial r }\frac{\partial z}{\partial \theta }-\frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{\partial z}{\partial r } \right) \\ &= \sin\theta\cos\phi\left(0-r\sin\theta\cos\phi(-r\sin\theta) \right) \\ &+ r\cos\theta\cos\phi(r\sin\theta \cos\phi \cos\theta - 0) \\ & -r\sin\theta\sin\phi(\sin\theta\sin\phi (-r\sin\theta) - r\cos\theta \sin\phi \cos\theta) \\ &= r^{2}\sin^{3}\theta \cos ^{2}\phi + r^{2}\sin\theta\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi \\ &+ r^{2}\sin^{2}\phi\sin^{3}\theta+r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi\sin\theta \\ &= r^{2}\sin\theta(\sin^{2}\theta\cos^{2}\phi+\cos^{2}\theta\cos^{2}\phi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\phi+\cos^{2}\theta\sin^{2}\phi) \\ &= r^{2}\sin\theta(\cos^{2}\phi+\sin^{2}\phi) \\ &= r^{2}\sin\theta \end{align*} $$
따라서
$$ dV=dxdydz=\begin{vmatrix} \frac{ \partial x }{ \partial r} & \frac{ \partial x }{ \partial \theta } & \frac{ \partial x }{ \partial \phi } \\ \frac{ \partial y }{ \partial r} & \frac{ \partial y }{ \partial \theta } & \frac{ \partial y }{ \partial \phi } \\ \frac{ \partial z }{ \partial r} & \frac{ \partial z }{ \partial \theta } & \frac{ \partial z }{ \partial \phi }\end{vmatrix}drd\theta d\phi=r^{2}\sin\theta dr d\theta d\phi $$