극 좌표계에서 미소 면적 원통 좌표계에서 미소 부피

극 좌표계에서 미소 면적 원통 좌표계에서 미소 부피

volume in cylindrical coordinates

공식

극 좌표계에서 미소 면적은 다음과 같다.

$$ dA=rdrd\theta $$

원통 좌표계에서 미소 부피와 원통 표면의 미소 면적은 다음과 같다.

$$ dV=\rho d\rho d\phi dz \\ dA=\rho d\phi dz $$

설명

5F5B32242.png

극 좌표계 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(r,\theta)$

미소 면적은 그림에서와 같이 (초록선의 길이)$\times$(파란선의 길이)이다. 초록색 선은 지름 방향의 미소 변화량이므로 $\color{green}{dr}$이다. 파란색 선은 지름이 $r$, 중심각이 $d\theta$인 호이다. 호의 길이는 지름과 각의 곱이므로 파란선의 길이는 $\color{blue}{rd\theta}$이다. 따라서 미소 면적은

$$ dA=rdr d\theta $$

원통 좌표계 $\mathbf{r}=\mathbf{r}(\rho,\phi,z)$

극 좌표계에서 미소 면적에 높이 방향의 미소 변화량인 $\color{red}{dz}$만 곱해주면 된다.

$$ dV=\rho d\rho d\phi dz $$

원통 겉면의 면적은 길이 성분의 미소 변화량을 곱해주지 않으면 되므로

$$ dA=\rho d\phi dz $$

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