비탈리 수렴 정리

비탈리 수렴 정리

정리 1

측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있다고 하자.

$1 \le p < \infty$ 라고 할 때 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{L}^{p}$ 가 $f$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하는 것은 다음 세 가지를 모두 만족하는 것과 필요충분조건이다.

설명

20191028\_102403.png

유한 측도의 대표적인 예로써 확률 $P$ 가 있다. 확률론에서 비탈리 수렴 정리는 균등적분가능이라는 조건이 더함으로써 확률 수렴을 $\mathcal{L}_{p}$ 까지 만들어주는 정리가 된다.


  1. Bartle. (1995). The Elements of Integration and Lebesgue Measure: p76. ↩︎

댓글