원통좌표계에서 속도와 가속도

원통좌표계에서 속도와 가속도

원통좌표계에서 속도와 가속도

$$ \begin{align*} \mathbf{v}&=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}} \\ \mathbf{a} &= (\ddot r -r\dot{\phi} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\phi} + r\ddot{\phi})\hat{\boldsymbol{\phi}} + \ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

유도

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원통좌표계에서 단위 벡터는 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \boldsymbol{\rho}&=x\hat{\mathbf{x}}+y \hat{\mathbf{y}} +z\hat{\mathbf{z}}=r\hat{\mathbf{r}} +z\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\mathbf{r}} &= \hat{\mathbf{r}}(\phi) = \cos\phi \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \hat{\mathbf{y}} \\ \hat{\boldsymbol{\phi}} &= \hat{\mathbf{r}}(\phi+\pi/2) = -\sin\phi \hat{\mathbf{x}} + \cos\phi \hat{\mathbf{y}} \\ \hat{\mathbf{z}} &= \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$ 속도는 위치를 시간에 대해 미분해서, 가속도는 속도를 시간에 대해 미분해서 구할 수 있다. 참고로 $\dot{r}$은 [알 돗(도트)]이라고 읽는다. 물리학에서 문자 위의 점은 시간에 대한 미분이라는 뜻이다.

$$ \dot{r} = \frac{dr}{dt} $$

속도

$\boldsymbol{\rho}$를 $t$에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{v}&=\frac{d \boldsymbol{\rho}}{dt} \\ &=\frac{d}{dt}(r \hat{\mathbf{r}}+z\hat{\mathbf{z}}) \\ &=\frac{d r}{dt}\hat{\mathbf{r}} + r\frac{d \hat{\mathbf{r}}}{dt} +\frac{dz}{dt}\hat{\mathbf{z}} +z\frac{d \hat{\mathbf{z}}}{dt} \\ &=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} +r \dot{\hat {\mathbf{r}}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

이때 직교 좌표계의 단위벡터는 시간에 따라 변하지 않는다. 다시 말해 다음과 같다.

$$ \dot{\hat{\mathbf{x}}}=\dot{\hat{\mathbf{y}}}=\dot{\hat{\mathbf{z}}} = \mathbf{0} $$

$\dot{\hat{\mathbf{r}}}$을 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \dot{\hat {\mathbf{r}}} = \frac{d}{dt}(\hat{\mathbf{r}}) &= \frac{d}{dt}(\cos\phi \hat{\mathbf{x}}) + \frac{d}{dt}(\sin\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= \frac{d\cos\phi}{dt}\hat{\mathbf{x}} + \frac{d\sin\phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \frac{d\cos\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{d\sin\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\sin\phi \frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\cos\phi \frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \frac{d \phi }{dt}(-\sin\phi \hat{\mathbf{x}}+\cos\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align*} $$

따라서 속도는 다음과 같다.

$$ \mathbf{v}=\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}}+\dot{z} \hat{\mathbf{z}} $$

가속도

$\mathbf{v}$를 $t$에 대해서 미분하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} +\dot{z} \hat{\mathbf{z}}) \\ &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{ \hat{\mathbf{r}}} + \dot{r} \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \ddot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \dot{\phi} \dot{ \hat{\boldsymbol{\phi}}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$

$\dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}$를 계산해보면 아래와 같다.

$$ \begin{align*} \dot{ \hat{\boldsymbol{\phi}}} = \frac{d}{dt}(\hat{\boldsymbol{\phi}}) &= \frac{d}{dt}(-\sin\phi \hat{\mathbf{x}})+\frac{d}{dt}(\cos\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= -\frac{d\sin\phi}{dt}\hat{\mathbf{x}} +\frac{d\cos\phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= -\frac{d\sin\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{x}}+\frac{d\cos\phi}{d \phi}\frac{d \phi}{dt}\hat{\mathbf{y}} \\ &= \dfrac{d\phi}{dt} (-\cos\phi \hat{\mathbf{x}}-\sin\phi \hat{\mathbf{y}}) \\ &= - \dot{\phi} \hat{\mathbf{r}} \end{align*} $$

따라서 대입하고 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{a} &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{ \hat{\mathbf{r}}} + \dot{r} \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \ddot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \dot{\phi} \dot{ \hat{\boldsymbol{\phi}}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \\ &= \ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot{r} \dot{\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} + \dot{r} \dot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} + r \ddot{\phi} \hat{\boldsymbol{\phi}} -r \dot{\phi} \dot{\phi} \hat{\mathbf{r}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \\ &= (\ddot r -r\dot{\phi} ^2)\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\phi} + r\ddot{\phi})\hat{\boldsymbol{\phi}} +\ddot{z}\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$


원통좌표계는 극좌표계에서 높이 $z$만 추가된 것이기 때문에 속도와 가속도 공식도 각각 극좌표계에서 $\dot{z} \hat{\mathbf{z}}$, $\ddot{z}\hat{\mathbf{z}}$항만 추가된 꼴이다.

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